Puede la ruta de conectividad ser definido sin el uso de la unidad de intervalo o de manera más general los números reales?
I. e., no tenemos más necesidad de Dedekind o cortes de convergencia de Cauchy de clases de equivalencia de los números racionales (espacio métrico finalización) con el fin de definir cualquier objeto topológicamente equivalente a la unidad de intervalo?
En comparación con la definición de la conexión, que sólo utiliza abiertos y conjuntos cerrados, tener que hacer uso de la unidad de intervalo para definir la ruta de conexión, parece algo así como con un mazo.
Sospecho que la respuesta podría ser que no, ya que para cada Hausdorff ruta de acceso conectado espacio, las rutas de acceso son homeomórficos a la unidad de intervalo (al menos, según el artículo de Wikipedia). En particular, cada localmente trayectoria-conectado espacio de Hausdorff tiene un montón de 1-variedades como subconjuntos.
Todavía no está claro para mí, ya que parece que debería ser capaz de especificar todos los de la unidad de intervalo de propiedades topológicas sin tener que recurrir a su definición analítica.
Sus pensamientos o ayuda sería muy apreciada.
EDIT: esta pregunta probablemente tiene algo que ver con homotopy teoría: https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy, con el cual estoy rudimentarily familiar en el mejor.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En realidad, hay dos preguntas aquí: se puede definir la unidad de intervalo de espacio sin hablar de los números reales, y se puede definir la ruta de acceso-conexión sin hablar de la unidad de intervalo de espacio? La respuesta a ambas preguntas es sí; permítanme abordar la segunda cuestión en primer lugar.
Deje $P$ ser un espacio topológico y deje $a,b\in P$ dos puntos. Decir que un espacio de $X$ $(P,a,b)$- conectados si por cualquier $x,y\in X$, no es un mapa continuo $f:P\to X$ tal que $f(a)=x$$f(b)=y$. Por supuesto, para $(P,a,b)=([0,1],0,1)$, esto es sólo la definición habitual de la ruta de acceso-conexión.
Sin embargo, hay una más "universal" caracterización de la ruta de acceso-conexión que no requiere que usted para saber sobre el espacio $[0,1]$. Es decir, un espacio $X$ es la ruta de acceso conectado iff es $(P,a,b)$-conectados para todos compacto Hausdorff espacios de $P$, con dos puntos distintos $a,b\in P$.
Para demostrarlo, supongamos $X$ es la ruta de acceso conectado, $P$ es un compacto Hausdorff espacio, $x,y\in X$, e $a,b\in P$ son distintos. Desde $X$ es la ruta de acceso conectado, hay un camino de $g:[0,1]\to X$ tal que $g(0)=x$$g(1)=y$. Por Urysohn del lema, no es un mapa continuo $h:P\to [0,1]$ tal que $h(a)=0$$h(b)=1$. La composición de la $gh:P\to X$ entonces es continua y satisface $g(a)=x$$g(b)=y$.
La idea aquí es que usted podría utilizar cualquier espacio de $P$, con dos puntos escogidos $a$ $b$ a definir la noción de "caminos" en un espacio. Sin embargo, si se limita a compacto Hausdorff espacios de $P$, entonces el ordinario intervalo de $[0,1]$ es el "más fuerte posible tipo de ruta" que puede tener en un espacio: si usted tiene un $[0,1]$-ruta entre dos puntos, entonces usted tiene un $P$-ruta de acceso para cada una de las otras compacto Hausdorff espacio de $P$.
(Por supuesto, todos hemos utilizado sobre compactos de Hausdorff es que sabemos que hay un mapa de $P\to [0,1]$ separación de $a$$b$. Sin embargo, me enunciado de todo en términos de los compactos de Hausdorff condición, ya que esta es una condición natural que se puede definir sin ya saber sobre el espacio $[0,1]$.)
OK, ahora te voy a decir un poco acerca de la primera pregunta. De hecho, hay muchas maneras diferentes para poder caracterizar el espacio de $[0,1]$ hasta homeomorphism sin referencia a los reales, o algo que es esencialmente equivalente a la construcción de los reales. De hecho, se puede deducir que uno de la respuesta que le dio a la segunda pregunta anterior.
Es decir, decir que un compacto Hausdorff espacio de $(P,a,b)$ equipada con dos puntos distintos es un universal de la ruta de acceso si tiene la propiedad especial de $[0,1]$ indicado anteriormente: siempre hay un $(P,a,b)$camino entre dos puntos de $x$ $y$ de cualquier espacio, también hay un $(Q,c,d)$-camino de $x$ $y$para cualquier compacto de Hausdorff espacio de $Q$ con dos puntos distintos. Decir que una ruta de acceso universal a $(P,a,b)$ es mínima si por cualquier otra ruta de acceso universal a $(Q,c,d)$, hay una incrustación $P\to Q$ envío de $a$$c$$b$%#%.
Yo ahora dicen que $d$ es el único universal mínima de ruta (hasta homeomorphism). Sabemos que es universal. Para mostrar que es mínima, vamos a $([0,1],0,1)$ ser cualquier ruta de acceso universal. Desde el mapa de identidad $(Q,c,d)$ $Q\to Q$- camino de$(Q,c,d)$$c$$d$, la universalidad implica que hay un $Q$-camino de$([0,1],0,1)$$c$$d$. Pero si hay un camino entre dos puntos de un espacio de Hausdorff, también hay una ruta que es una incrustación de objetos (ver Hace trayectoria-conectado implica camino simple conectado?). Por lo tanto hay una incrustación $Q$ envío de $[0,1]\to Q$$0$$c$%#%.
Ahora supongamos $1$ es cualquier mínimo universal de la ruta. El párrafo anterior muestra que hay un $d$-camino de$(P,a,b)$$([0,1],0,1)$$a$. Ahora desde $b$ es una ruta de acceso universal, minimality de $P$ dice que $([0,1],0,1)$ incrusta en $P$ envío de $P$$[0,1]$$a$%#%. Pero desde $0$ contiene un camino de$b$$1$, la imagen de esta incrustación contiene una ruta de acceso de$P$$a$, y por lo tanto contiene todos los de $b$. Así, la inclusión es en realidad un homeomorphism $0$.
Es precisamente esta pregunta la que motiva la definición de un arco que conecta el espacio,que es una ligera pero importante generalización de la ruta de interconexión. Un arco es un homeomorphism f entre [0,1] y f([0,1]). ¿Qué te gustaría darle es una generalización que no se trata de los números reales en cualquier forma. Es una buena pregunta y yo realmente no tengo la respuesta.
Supongo que uno podría utilizar un conjunto parcialmente ordenado como la indexación de conjunto y establecer una función continua que es análoga a la ruta de acceso de la conexión. Lo que no está claro es si o no la integridad de la propiedad es necesaria para la indexación conjunto para producir una generalización de la ruta connecteness. Si es así, entonces la respuesta es no ya que sólo los elementos de un completo ordenado del campo de satisfacer la definición y eso significa que los números reales venir en algún momento.
Sin entrar demasiado profundo en esto, hay un área de punto de ajuste de la topología llamado ordenó la topología, que estudia espacios topológicos con un orden de relación. Esta área ha sido particularmente útil en el operador de la teoría, donde se ha encontrado que los operadores pueden ser definidos en espacios donde se induce una orden que a su vez induce específicos de las topologías. Para responder a tu pregunta,no creo que se tienen que ir profundamente en ello, pero hay varios excelentes artículos introductorios que usted puede consultar. Por Eilenberg creo que usted encontrará muy útil para empezar. Creo que tienes un excelente punto de partida para el estudiante de pregrado o de postgrado a partir de la investigación a nivel de tema aquí y este parece un buen lugar para comenzar.
Addendum: hice un poco de investigación y encontrar algo interesante que probablemente sea pertinente a su pregunta. Resulta que cada espacio topológico con un orden parcial en es Hausdorff. Ya que el intervalo [0,1] es claramente un conjunto parcialmente ordenado (de hecho,es totalmente ordenado,que es una condición más fuerte).Desde el orden parcial es el más débil de tipo de orden,esto sugiere fuertemente que cualquier ordenó espacio topológico que generaliza la ruta de conexión puede ser Hausdorff. Usted puede comenzar su investigación con esta conjetura,de forma gratuita. : )
Buena suerte!
