Ejemplo de dos haces vectoriales no triviales con una suma trivial

Question

Necesito un ejemplo de paquetes vectoriales $E_1 \to B$ , $E_2 \to B$ tal que $E_1, E_2$ son no triviales y $E_1 \oplus E_2 $ es trivial. No hay muchos paquetes que pueda demostrar que no son triviales. Uno de ellos es el haz de líneas no trivial sobre el círculo (que da la vuelta a la fibra). He intentado comprobar si la suma de dos copias de esos haces es trivial.

Me parece que no es así porque el mapa de encolado es sólo la matriz $\operatorname{diag}(-1, -1)$ por lo que sigue dando la vuelta a las cosas y, por tanto, cualquier sección debe ser cero en la intersección. Sin embargo, no estoy seguro de ello.

Entonces, ¿cuál es el ejemplo más sencillo y funciona el haz sobre el círculo?

Observación: No conozco las clases características y, de todas formas, no se me permite utilizarlas.

Answer 1

Pregunta: "Entonces, ¿cuál es el ejemplo más sencillo y funciona el haz sobre el círculo?"

Respuesta: Un ejemplo elemental es la n-esfera real. Si $k$ es el campo de números reales y $f:=x_1^2+\cdots + x_n^2-1$ con $A:=k[x_1,..,x_n]/(f)$ se deduce que hay una secuencia exacta

$$ 0 \rightarrow Adf \rightarrow A\{dx_1,..,dx_n\} \rightarrow \Omega^1_{A/k}\rightarrow 0$$

y $\Omega^1_{A/k}$ es un proyectivo no trivial $A$ -módulo en general. Por lo tanto,

$$\Omega^1_{A/k} \oplus A \cong A^n$$

es una suma de este tipo. Un resultado similar es válido para $Hom_A(\Omega^1_{A/k},A):=T_A$ .

Creo que el mismo resultado es válido para el $n$ -esfera $S^n$ visto como una variedad diferenciable. El haz tangente $T_{S^n}$ (y el haz cotangente $\Omega^1_{S^n}$ ) no es trivial y se obtiene un resultado similar:

$$T_{S^n}\oplus \mathcal{O}_{S^n} \cong \mathcal{O}_{S^n}^n.$$

https://en.wikipedia.org/wiki/Hairy_ball_theorem