Determinar el rango de $r$ en el que $f $ es continua en $[0, \infty)$

Question

Si elijo $r=2$ puedo encontrar que f es diferenciable en $[0,\infty)$ . Pero no puedo encontrar un rango de $r$ en la que la pregunta a. Estoy pensando en utilizar el Teorema de la Expresión para los límites.

Answer 1

En $ (0,+\infty) $ , $ f(x)=e^{r\ln(x)}\sin(\frac 1x) $ y

$$f'(x)=x^{r-2}(rx\sin(\frac 1x)-\cos(\frac 1x))$$

Por otro lado $$\forall x>0\; \; |f(x)|\le x^r$$ por lo que si $ r>0 $ , $ f $ es continua en $ [0,+\infty) $ y $$|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}|\le x^{r-1}$$ por lo que, si $ r-1>0$ será diferenciable.

Si $ r\le 0$ demostramos que no es continua en $ 0$ por subsecuencias : $$x_n=\frac{1}{n\pi}\;,\;y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}$$