Es cualquier subconjunto de $\mathbb{Z}$ ¿abierto?

Question

Mi pregunta es para considerar $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{R}$ con la métrica del subespacio. ¿Cuáles son los subconjuntos abiertos de $\mathbb{Z}$ ? La respuesta es que cualquier subconjunto de $\mathbb{Z}$ está abierto. Estoy luchando por probar esto. ¿Puede alguien ayudarme? Quiero demostrarlo utilizando la caracterización del espacio métrico de los conjuntos abiertos:

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico. Un subconjunto $U \subseteq X$ es un conjunto abierto si para cada $x \in U$ existe $r > 0$ tal que $B(x,r) \subseteq U$ . Donde $B(x,r)$ es la bola abierta de radio $r$ y el centro $x$ .

Answer 1

Sugerencia :

Dado que todo conjunto puede escribirse como una unión de monotonos, debes intentar demostrar que los monotonos son conjuntos abiertos.

Pista 2 :

Para un singleton $\{n\}\subseteq\mathbb Z$ , intenta encontrar un conjunto abierto $O$ sur $\mathbb R$ tal que $O\cap\mathbb Z=\{n\}$

Pista 3 :

Piensa en candidatos sencillos para $O$ .

Answer 2

Pista: recuerda que el balón abierto $B(x, r)$ de radio $r$ sobre $x$ depende del subespacio: por ejemplo, en el subespacio $\Bbb{Z}$ del espacio métrico $\Bbb{R}$ , $B(0, 2)$ significa algo diferente de lo que significa en $\Bbb{R}$ : en $\Bbb{Z}$ significa que todos los enteros a una distancia menor que $2$ de $0$ , no todos los números reales con esa propiedad. Así que en $\Bbb{Z}$ , $B(0, 2)$ tiene sólo tres elementos. ¿Ahora puedes pensar en un $d > 0$ tal que $B(i, d)$ (en $\Bbb{Z}$ ) está contenido en cualquier subconjunto que contenga el entero $i$ ?