Problema de teoría de números y ecuaciones diofantinas

Question

Supongamos que $m^3=n^4-4$ donde $m,n \in \mathbb Z$ .

a) Demuestre que $m$ no puede ser incluso si $n$ es impar.

b) Demuestre que $m$ y $n$ no pueden ser ambos pares.

c) Considerando los factores primos de $m$ , $n^2-2$ y $n^2+2$ , demuestran que no hay soluciones enteras para $m^3=n^4-4$

Puedo hacer las dos primeras partes, pero me cuesta empezar la parte c, ¿cómo debo pensar en este problema y por dónde debo empezar?

Answer 1

De a) y b), $m$ debe ser impar y por lo tanto también debe ser $n^4-4=(n^2+2)(n^2-2)$ . Como $\gcd(n^2+2,n^2-2)\mid 4$ Esto implica que $n^2\pm2$ son coprimas, por lo que cada una de ellas debe ser un cubo. Por lo tanto, tenemos dos cubos que difieren en $4$ .

Answer 2

$m^3=n^4-4$
primera parte $$n=2k+1 \to m^3=n^4-4=(2k+1)^4-4=odd-even=odd \to m^3=odd \to m=odd=2q'+1$$ segunda parte $$m=2q,n=2k \to \\ m^3=n^4-4 \to (2q)^3=(2k)^4-4 \to 8q^3=16k^4-4\\8q^3=4(4k^2-1)$$ dividir por 4 $$2q=4k^2-1 \\even=odd$$ eso es imposible 3ª parte por la 2ª parte m,n no pueden ser pares
por la 1ª parte m,n son impar puede tener solución así que si n=impar $(n^2+2,n^2-2)=1 \to$ así que escribe $m^3=m*m^2=m.m.m=(n^2+2)(n^2-2)$
pero $(m,m^2) \neq1 ,(m,m,m) \neq 1$ este hecho muestra $(n^2+2,n^2-2) \neq 1$

por lo que la ecuación no tiene solución entera

Answer 3

A) si n es impar : n^2 = 1 (mod 8) , n^4 = 1 (mod 8)

n^4 - 4 = 1 - 4 = -3 (mod 8) mientras que m^3 = 0 (mod 8) si m es par

b) si m y n son pares : m^3 = 0(mod 8) , n^4 - 4 = -4 (mod 8)

por lo que no pueden ser iguales