Llegué alrededor de esta expresión a la hora de resolver un problema.
$$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$$
WolframAlpha dice que es igual a $2+\sqrt{3}$. Podemos confirmar como este $$\left(2+\sqrt{3}\right)^2 \;=\; 4+4\sqrt{3} + 3 \;=\; 7 + 4\sqrt{3}.$$
Sin embargo, la única manera que se me ocurre cómo simplificar la expresión en la mano es adivinar. Existe una mejor forma de calcular la raíz cuadrada de una suma, como que uno?
Si desea $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=a+b\sqrt d$ (donde $a$ $b$ son números racionales, y $d$ es una plaza libre entero), a continuación,$7+4\sqrt{3} = a^2+db^2+2ab\sqrt d$, lo que produce la selección natural $d=3$.
A continuación, $a^2+3b^2=7$ $2ab=4$ pueden ser resueltos en los números racionales, y te encuentras $a=2,b=1$ (debido a $a^2+3 \cdot (2/a)^2=7$ tiene soluciones $±2$$±\sqrt 3$).
lo que se suele hacer con una raíz cuadrada es la siguiente: Mirar el término bajo el signo de la raíz y tratar de escribir como una binomal $a^2+2ab+b^2$.
Así que, en su caso:
$7+4\sqrt{3} = a^2+2ab+b^2$
La raíz cuadrada tiene que estar en la $2ab$ plazo, por lo que podemos asumir que
$2ab = 4 \sqrt3$ y $a^2+b^2 = 7$.
Este es un sistema de dos (no lineal) ecuaciones con dos variables y observando detenidamente, se obtiene $a=2$$b=\sqrt3$.
Espero que esto ayude.
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