Plano proyectivo - Conjunto de bloqueo relativo a la línea de un óvalo

Question

Dejemos que $\pi=PG(2,n)$ ser un desarguesiano plano proyectivo de la orden impar $n$ y $\mathcal{L}$ sea una subcolección de líneas de $\pi$ . Entonces un conjunto $B$ de puntos de $\pi$ se llama conjunto de bloqueo relativo a $\mathcal{L}$ si para cada línea $\ell$ en $\mathcal{L}$ tenemos $\ell\cap B\neq\emptyset$ .

Sé que si $\mathcal{L}$ es el conjunto de todas las líneas de $\pi$ entonces tenemos un conjunto de bloqueo estándar, de tamaño al menos $n+1$ (si el conjunto es una línea).

Ahora dejemos que $\mathcal{O}$ sea un óvalo de $\pi$ y, por tanto, un conjunto (máximo) de $n+1$ puntos, no 3 colineales. Decimos que una línea $\ell$ es

• externo a $\mathcal{O}$ si $\vert \ell\cap\mathcal{O}\vert =0$ .
• tangente a $\mathcal{O}$ si $\vert \ell\cap\mathcal{O}\vert = 1$ .
• secante a $\mathcal{O}$ si $\vert \ell\cap\mathcal{O}\vert = 2$ .

Me interesa acotar el tamaño de un conjunto de bloqueo $S$ relativa a la colección de todas las líneas externas a $\mathcal{O}$ . Un simple argumento de recuento da como resultado $$\vert S\vert\geq \frac{n-1}{2}$$

En efecto, cada punto de nuestro conjunto de bloqueo abarca como máximo $n+1$ líneas. Tenemos en total $\binom{n}{2}$ líneas externas, por lo que necesitamos al menos $\frac{n-1}{2}$ puntos.

Me gustaría construir un conjunto de bloqueo que coincida con este límite (si es posible)

Un conjunto de bloqueo trivial relativo a la colección de todas las líneas externas está dado por una línea secante a $\mathcal{O}$ menos los dos puntos del óvalo, dando un conjunto de tamaño $n-1$ . Necesito reducir este conjunto a la mitad.

He probado a mirar los puntos de una recta secante que están en el exterior de $\mathcal{O}$ (es decir, en la intersección de 2 tangentes a $\mathcal{O}$ ), pero no pueden bloquear todas las líneas externas. Necesito otra idea.

Ten en cuenta que luego me interesará el bloqueo relativo a todas las secantes, pero supongo que si puedo construir la primera, debería poder mirar el caso de las secantes.

Answer 1

Después de algunos dolores de cabeza encontré mis soluciones.

El límite no es nada estrecho. De hecho, tenemos una restricción adicional: cualquier punto que no esté en el óvalo debe ser incidente

• o bien 2 líneas tangentes, y por lo tanto $\frac{n-1}{2}$ líneas secantes y $\frac{n-1}{2}$ líneas externas.
• o línea tangente 0, y por lo tanto $\frac{n+1}{2}$ líneas secantes y $\frac{n+1}{2}$ líneas externas.

Por lo tanto, cada punto de nuestro conjunto de bloqueo cubre como máximo $\frac{n+1}{2}$ líneas y tenemos $$\vert S\vert\geq n-1$$ Entonces mi construcción es óptima.