Dejemos que $\pi=PG(2,n)$ ser un desarguesiano plano proyectivo de la orden impar $n$ y $\mathcal{L}$ sea una subcolección de líneas de $\pi$ . Entonces un conjunto $B$ de puntos de $\pi$ se llama conjunto de bloqueo relativo a $\mathcal{L}$ si para cada línea $\ell$ en $\mathcal{L}$ tenemos $\ell\cap B\neq\emptyset$ .
Sé que si $\mathcal{L}$ es el conjunto de todas las líneas de $\pi$ entonces tenemos un conjunto de bloqueo estándar, de tamaño al menos $n+1$ (si el conjunto es una línea).
Ahora dejemos que $\mathcal{O}$ sea un óvalo de $\pi$ y, por tanto, un conjunto (máximo) de $n+1$ puntos, no 3 colineales. Decimos que una línea $\ell$ es
- externo a $\mathcal{O}$ si $\vert \ell\cap\mathcal{O}\vert =0$ .
- tangente a $\mathcal{O}$ si $\vert \ell\cap\mathcal{O}\vert = 1$ .
- secante a $\mathcal{O}$ si $\vert \ell\cap\mathcal{O}\vert = 2$ .
Me interesa acotar el tamaño de un conjunto de bloqueo $S$ relativa a la colección de todas las líneas externas a $\mathcal{O}$ . Un simple argumento de recuento da como resultado $$\vert S\vert\geq \frac{n-1}{2}$$
En efecto, cada punto de nuestro conjunto de bloqueo abarca como máximo $n+1$ líneas. Tenemos en total $\binom{n}{2}$ líneas externas, por lo que necesitamos al menos $\frac{n-1}{2}$ puntos.
Me gustaría construir un conjunto de bloqueo que coincida con este límite (si es posible)
Un conjunto de bloqueo trivial relativo a la colección de todas las líneas externas está dado por una línea secante a $\mathcal{O}$ menos los dos puntos del óvalo, dando un conjunto de tamaño $n-1$ . Necesito reducir este conjunto a la mitad.
He probado a mirar los puntos de una recta secante que están en el exterior de $\mathcal{O}$ (es decir, en la intersección de 2 tangentes a $\mathcal{O}$ ), pero no pueden bloquear todas las líneas externas. Necesito otra idea.
Ten en cuenta que luego me interesará el bloqueo relativo a todas las secantes, pero supongo que si puedo construir la primera, debería poder mirar el caso de las secantes.
