Demostrar que $W$ es $T$ -si y sólo si $W^0$ es $T^t$ -invariante.

Question

Dejemos que $T$ sea un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ y que $W$ sea un subespacio de $V$ . Sea $W^0 \subset V^*$ sea el aniquilador de $W$ . Demostrar que $W$ es $T$ -si y sólo si $W^0$ es $T^t$ -invariante.

Se agradece una pista para la dirección contraria.

Answer 1

$W$ es $T$ -invariante, entonces $W^0$ es $T^t$ -invariante.

Dejemos que $f\in W^0$ (es decir $f:V\rightarrow K$ tal que $f(W)=0$ ). Queremos mostrar $T^t(f)\in W^0$ .

Tome $w\in W$ por hipotesis $T(w)\in W$ y: $$[T^t(f)](w) = f(T(w)) = 0$$ así que $T^t(f)\in W^0$ .

$W^0$ es $T^t$ -invariante, entonces $W$ es $T$ -invariante.

Dejemos que $w\in W$ queremos mostrar $T(w)\in W$ .

Tome un funcional $f\in W^0$ por hipotesis $T^t(f)\in W^0$ y $$f(T(w))=[T^t(f)](w)=0$$ así que $T(w)\in \ker f$ para todos $f\in W^0$ . Si ahora demostramos que $\bigcap_{f\in W^0}\ker f = W$ tenemos la declaración.

Claramente $W\subseteq \bigcap_{f\in W^0}\ker f$ . Viceversa tomar $x\notin W$ , una base $\mathcal B = \{x,v_2,...,v_n\}$ de $V$ y definir la función $f:V\rightarrow K$ tal que $$f(x)\neq 0,\quad f(v_2)= \ ... \ =f(v_n)=0$$ $f\in W^0$ y $x\notin \ker f$ . Por lo tanto, $x\notin \bigcap_{f\in W^0}\ker f$ y hemos terminado.