Cómo demostrar que esta integral se aproxima $\pi$ como $\epsilon \rightarrow 0$

Question

$$I = \lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int_{0}^{\pi}e^{-\epsilon \sin(t)}e^{\epsilon i\cos(t)}dt$$

Cómo demostrar que la integral se aproxima $\pi$ a medida que epsilon se acerca a cero? He aplicado el lema de Jordan y he obtenido $\pi$ como límite superior, pero el límite inferior y el superior deben acercarse al mismo valor (teorema de la compresión).

Answer 1

Tome $\epsilon_n>0$ tal que $\epsilon_n \to 0$

Definir $g_n(t)=e^{-\epsilon_n\sin{t}}e^{i\epsilon_n\cos{t}}$

Entonces $g_n(x) \to 1$ y $|g_n(x)| \leq 1 \in L^1[0,\pi]$ desde $\sin{t} \geq 0$ en $[0,\pi]$

Así que por convergencia dominada tienes el límite.