Supongamos que $f\in L^1(\mathbb R)$ satisface $\int_G f(x)\,dx=\int_{\bar{G}}f(x)\,dx$ para todo conjunto abierto $G\subset\mathbb R$, entonces $f=0$ casi en todas partes.

Question

Problema: Supongamos que $f\in L^1(\mathbb R)$ satisface $$\int_G f(x) dx=\int_{\bar{G}}f(x) dx\ \ \text{para todos los conjuntos abiertos } G\subset\mathbb R.$$ Mostrar que $f(x)=0$ casi en todas partes en $x\in\mathbb R$.

Mi intento: Para cualquier conjunto abierto $G\subset\mathbb R$, podemos escribir $G=\bigcup_{k=1}^\infty (a_k,b_k)$, donde $a_1. ¿La condición del problema implica que $\int_{\cup_k\{a_k,b_k\}}f=0$, cierto? Pero parece ser correcto para todos los $f\in L^1(\mathbb R)$ dado que $m(\cup_k\{a_k,b_k\})=0$. Así que estoy confundido. ¿Qué me faltó?

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Hecho bien conocido: Si $f\in L^1(\mathbb R)$ y $m(E_n)\to 0,$ entonces $\int_{E_n}f \to 0.$

Ahora supongamos que $f$ cumple con las hipótesis dadas. Sea $I$ cualquier intervalo abierto. Entonces existen conjuntos abiertos $G_1,G_2,\dots \subset I,$ con cada $G_n$ denso en $I,$ tales que $m(G_n)\to 0.$ Por lo anterior, $\int_{G_n}f \to 0.$ Pero para cada $n,$

$$\int_{G_n}f = \int_{\overline{G_n}}f =\int_I f.$$

Se sigue que $\int_I f =0.$ Dado que esto es cierto para cualquier intervalo abierto $I,$ tenemos que $\int_G f=0$ para cualquier abierto $G.$ Esto implica que $f=0$ casi en todas partes como se deseaba.