Probar la igualdad de conjuntos

Question

Estoy tratando de demostrar que dos conjuntos son iguales, y me pregunto si mi método de prueba está bien.

Sé que la forma "estándar" de demostrar que dos conjuntos son iguales es mostrar que cada uno es un subconjunto del otro. Hacer esto en un sentido es fácil, pero en el otro sentido, veo que será difícil (factible, pero no fácil).

Por otro lado, puedo demostrar que cada subconjunto tiene el mismo tamaño muy fácilmente construyendo una fácil biyección entre ellos. ¿Es esto suficiente para demostrar que tienen el mismo tamaño? Tiene un sentido intuitivo, pero quiero asegurarme de que es bueno. Es decir, quiero saber si,

$(A\subseteq B) \wedge (|A| = |B|) \implies A = B.$

Gracias.

Answer 1

No: $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}$ , $\vert\mathbb{Z}\vert=\vert\mathbb{Q}\vert$ pero $\mathbb{Z}\not=\mathbb{Q}$ .

(Nota avanzada: los conjuntos para los que tu argumento funcionaría se llaman "Dedekind-finitos"; asumiendo el axioma de elección, todos los conjuntos Dedekind-finitos son realmente finitos, pero en ZF es consistente que haya infinitos conjuntos Dedekind-finitos).

Answer 2

Si sus conjuntos son finitos, sí. Si son infinitos, entonces no. Contraejemplo para el infinito: Los números naturales pares son un subconjunto de los números naturales, tienen la misma cardinalidad, pero no son iguales