Número mínimo de vueltas para garantizar las cabezas

Question

Este es un problema extraño que me vino a la cabeza: dada una moneda justa, ¿cuántos tiros se requieren para garantizar las cabezas?

Si consigo una cola, luego otra cola, y otra etc., la posibilidad de conseguir una cara aumenta cada vez. Pero todavía hay una pequeña posibilidad de que me den otra cruz.

Esto parece implicar que no hay un número finito de vueltas para garantizar una cabeza. ¿Significa esto que el infinito es la respuesta correcta (aunque el infinito no es un número hasta donde yo entiendo) o esta pregunta es incluso respondible en primer lugar?

Answer 1

No hay forma de garantizar que se obtenga una cabeza alguna vez. La probabilidad de obtener cara sigue siendo un 50-50 constante en cada tirada individual--se dice que las tiradas son independiente . Sólo en el conjunto de un número creciente de tiradas la probabilidad de obtener una cara en al menos uno aumentos de volteo. Sin embargo, aunque esta probabilidad aumenta monótonamente, nunca llega a 1.

Sí; es extremadamente improbable que obtengas 5 millones de colas seguidas, pero es totalmente posible. Puede responder a una pregunta similar si está dispuesto a establecer una tolerancia. Es decir, si quieres tener un 95% de confianza en que saldrá una cara, entonces quieres la probabilidad de que $N$ de los volteos en una fila son colas para ser menos del 5%.

La probabilidad de que $N$ de tiradas seguidas son colas es $(0.5)^N$ . Calculando esto para diferentes valores de $N$ :

\begin{array}{ll} N & 0.5^ N \\ 1 & 0.5 \\ 2 & 0.25 \\ 3 & 0.125 \\ 4 & 0.0625 \\ 5 & 0.03125 \end{array}

Por lo tanto, al lanzar la moneda $5$ tiempos le dará $(100 - 3.125)$ % = $96.875$ % de confianza en que una cabeza aparecerá al menos una vez.

Answer 2

Básicamente la respuesta: "infinito" es la correcta. Además, hay que tener cuidado al decir que la probabilidad de obtener una cabeza aumenta "cada vez". Esta afirmación es falsa. Cada vez la posibilidad de obtener una cabeza es $1/2$ . Lo que sí es cierto es que la posibilidad de obtener al menos una cabeza en $n$ lanza es $1-2^{-n}$ . Esta probabilidad aumenta claramente con $n$ pero debería apreciar la diferencia con respecto a su declaración.

Answer 3

Si obtengo una cruz, luego otra cruz, y otra, etc., la probabilidad de obtener una cara aumenta cada vez.

no. sigue siendo una moneda justa después de lanzar varias colas. siempre hay un 50% de probabilidades de cara o cruz en el siguiente lanzamiento. esto es tan supersticioso como pensar que estás en una mesa de dados caliente en el casino.

Answer 4

La respuesta de kduna es correcta, pero quiero mencionar un punto algo sutil: aunque no se garantiza que se obtenga una cabeza después de cualquier número finito de tiradas, sí se garantiza que se obtenga una después de un número infinito de tiradas. Esto se debe a que la probabilidad de obtener $n$ colas en una fila es $1/2^n$ que va a $0$ como $n$ va al infinito.

Para un ejemplo en el que este no es el caso, suponga que va a lanzar un dado hasta obtener un $1$ . Pero la primera vez que se rueda, se utiliza un $2$ -de un dado, la segunda vez que se utiliza un $4$ -de la cara, entonces un $8$ -un dado de una cara, etc., duplicando el número de caras del dado después de cada tirada. Ahora, la probabilidad de que salga algo que no sea un $1$ $n$ veces seguidas es

$$\frac{1}{2}\frac{3}{4}\dots\frac{2^n-1}{2^n}$$

que Wolfram Alpha nos dice enfoques sobre $0.288788$ . Así que hay una posibilidad no nula de que podamos rodar eternamente sin ver nunca un $1$ .

La conclusión es que las respuestas a las dos preguntas "¿Sucederá alguna vez?" y "¿Hay un número finito de pasos antes de los cuales está garantizado que suceda?" no son necesariamente las mismas, y lanzar una moneda repetidamente hasta obtener cara es un caso en el que la respuesta a la primera es "sí" mientras que la respuesta a la segunda es "no".

Answer 5

Todas las respuestas que afirman que no hay un número máximo de colas después del cual se garantiza obtener caras son incorrectas, porque ignoran el hecho de que sólo hay un número finito de estados físicos disponibles para todo el universo observable. Que la moneda sea justa significa que de todos los estados físicos posibles con un resultado bien definido de lanzamiento de la moneda, el 50% saldrá cara. Para no obtener nunca cara se requiere una secuencia de lanzamientos de la moneda para pasar por un conjunto de estados en los que la moneda muestre cruz. Pero esto significa que el universo está atrapado para siempre en un ciclo de este tipo, los lanzamientos de la moneda se van a repetir en lugar de continuar (el universo está sometido a una evolución temporal cíclica). En ese caso, en realidad sólo hay un número finito de lanzamientos de moneda físicamente distintos que arrojan todos cruz.

Por lo tanto, hay un número máximo de resultados distintos del lanzamiento de la moneda que pueden dar cruz, este número es la mitad del número total de estados físicos en los que puede estar el universo, que es $\exp(S/k)$ donde $S$ es la máxima entropía del universo y $k$ es la constante de Boltzmann.

Las objeciones de la PM 2Ring no son válidas:

1. La finitud del volumen no es relevante, porque el lanzamiento de la moneda es un experimento local, por lo que imponer condiciones de contorno, digamos, a mil millones de años luz de distancia no puede importar. La máquina o el ser humano que lanza la moneda y su entorno local inmediato donde cae la moneda sólo pueden estar en uno de un número finito de estados.
2. El número de estados por debajo de una escala de energía finita es finito. Si se elige una energía demasiado alta, la región colapsará en un agujero negro, ver aquí para más detalles .
3. Una cantidad infinita de tiempo producirá un número ilimitado de resultados, pero sólo hay un número finito de resultados físicamente distintos posibles. Así que, como he explicado anteriormente, esto significa que el universo debe haber pasado por un número finito de estados, y ahora estás contando los mismos estados un número infinito de veces. Si consideramos el número finito de estados físicamente distintos, entonces el número de lanzamientos de la moneda que muestra la cola estará acotado.