$f\left( x \right) = {x^3} + x$ entonces $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + 2\int\limits_1^5 {{f^{ - 1}}\left( {2x} \right)dx} $

Question

Si $f\left( x \right) = {x^3} + x$ entonces $$\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + 2\int\limits_1^5 {{f^{ - 1}}\left( {2x} \right)dx} $$ es________.

Mi enfoque es el siguiente:

$$g = {f^{ - 1}} \Rightarrow g\left( x \right) = {f^{ - 1}}\left( x \right)$$

$$g\left( {2x} \right) = {f^{ - 1}}\left( {2x} \right)$$

$$2y = {8x^3} + 2x$$

$${f^{ - 1}}\left( {{x^3} + x} \right) = x$$

$$\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + 2\int\limits_1^5 {{f^{ - 1}}\left( {2x} \right)dx} $$

No puedo seguir adelante.

Answer 1

Dibuja la gráfica de $f$ en el $x$ -intervalo $[1,2]$ . El gráfico se extiende desde $(1,2)$ a $(2,10)$ . La primera integral es fácil de calcular. La segunda integral es $$\int_1^5f^{-1}(2x)\>dx={1\over2}\int_2^{10}f^{-1}(y)\>dy\ .$$ Lo esencial ahora es reconocer la última integral como una superficie que ya es visible en su figura.

Obsérvese que es imposible obtener una expresión sencilla para $y\mapsto f^{-1}(y)$ . Además: No hacer una mezcla entre las diferentes variables $x$ y $y$ .

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta de Christian Blatter. Mi respuesta pretende ampliar la intuición del OP. Se trata de una pregunta con trampa, que se puede resolver sin intentando calcular $f^{(-1)} x.$ Aquí, estoy usando $f^{(-1)} x$ para representar la función inversa de $f(x),$ en lugar de la recíproca de $f(x)$ .

La forma más fácil de ver esto es considerar un problema similar pero mucho más simple. Supongamos que $f(x) = x^2$ y se le pide que determine el área a la izquierda de la curva $y = f(x)$ como $y$ oscila entre $0 \to 4.$

El directo es calcular $x = g(y)$ donde $g$ es la función inversa de $f$ . Entonces el área se calcula como $I = \int_0^4 g(y) dy.$ Este enfoque podría interpretarse como integrándose horizontalmente.

El enfoque alternativo es:

(1) Consideremos el rectángulo formado por $x=0, x=2, y=0,$ y $y=4.$ Este rectángulo tiene un área de 8 unidades cuadradas.

(2) Considere la integración vertical de $J = \int_0^2 f(x) dx.$

Claramente, $I + J = 8,$ así que $I$ puede calcularse como $8 - J.$

El uso del enfoque alternativo (directamente arriba) facilita indirectamente computando un horizontal integración cuando se le da $f(x)$ y desea evitar tener que calcular $g(y) = f^{(-1)}x.$

Answer 3

$$f(x)=x^3+x$$ Dejemos que $$K=\int_{1}^{2} f(x) dx+2\int_{1}^{5} f^{-1}(2x) dx=I+J$$ $$ I=\int_{1}^{2} (x^3+x) dx=\frac{21}{4}$$ $$J=2\int_{1}^{5} f^{-1}(2x)dx=\int_{2}^{10} f^{-1}(z) dz$$ Dejemos que $f^{-1}(z)=t \implies z=f(t) \implies dz=f'(t) dt$ entonces $$J=\int_{1}^{2} t f'(t) dt=\int_{1}^{2}t(3t^2+1)dt=\frac{51}{4}.$$ Finalmente $$K=21/4+51/4=18.$$

Answer 4

Después de la sustitución $u=2x$ en la segunda integral, su expresión se convierte en

$$\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + 2\int\limits_1^5 {{f^{ - 1}}\left( {2x} \right)dx}= \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{f(1)=2}^{f(2)=10} {{f^{ - 1}}\left( {u} \right)du}$$

Ahora, puede utilizar un regla de integración de la función inversa y obtener

$$\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{f(1)=2}^{f(2)=10} {{f^{ - 1}}\left( {u} \right)du} = 2\cdot f(2) - 1\cdot f(1) =18$$