La topología sobre un grupo topológico está generada por una familia de pseudométricos. La única prueba que conozco pasa por los espacios uniformes (con lo que me refiero a la definición de séquito): Un grupo topológico tiene una uniformidad y por un teorema de Weil, toda uniformidad proviene de una familia de pseudométricos. ¿Existe una construcción directa de las pseudométricas que se salte el teorema de Weil?
Respuesta
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La estrategia básica debe constar de dos pasos: (1) los grupos topológicos son completamente regulares, y (2) los espacios completamente regulares son subespacios de productos de espacios pseudométricos. Por supuesto, esto no es muy diferente de la prueba que pasa por las estructuras uniformes, pero ciertamente se puede obviar ese lenguaje.
Ambas partes son, en cierto sentido, clásicas. Si se tiene a mano a Munkres, se puede extraer la prueba de (1) siguiendo la receta que se da en el ejercicio 5 de la página 237. (Sí, la enuncia para el $T_0$ /Hausdorff, pero la prueba se lleva a cabo sin esa suposición).
Un espacio $X$ es completamente regular si su Cociente de Kolmogorov $X_h$ es completamente regular (es decir, Tychonoff -- ver aquí ), y un espacio de Tychonoff se incrusta en un producto de copias del intervalo unitario (Munkres, p. 237, teorema 2.2). De este modo, la topología de $X_h$ está generada por una familia de métricas, y tirando de estas métricas a lo largo del mapa cociente $X \to X_h$ se obtiene una familia generadora de pseudometrías para $X$ .
Editar: En cuanto a la pregunta de arsmath en el comentario de abajo, uno puede referirse al Análisis Armónico Abstracto de Hewitt y Ross (como menciona Theo Buehler en su comentario de arriba), p. 67 y siguientes ( enlace ). Véase en particular el teorema 8.2 (página 68), donde la construcción directa de la pseudometría da una uniformidad que coincide con la uniformidad izquierda del grupo topológico.
