Estimación de una serie de Fourier

Question

Considere la siguiente función $F: x \to \sum_{k=1}^{N}\dfrac{\cos(2\pi k x)}{k^2}$ , donde $x\in[0,1]$ . Me gustaría demostrar que el mínimo de esta función se alcanza en $x=\dfrac{1}{2}$ para cualquier $N\in\mathbb{N}$ . Ya lo he intentado con todas las "herramientas clásicas" del análisis real, pero no consigo concluir nada. Finalmente, he descubierto que la función $F$ puede verse como una serie de Fourier truncada de una parábola. También he intentado trazar $F$ : gráfico para N=4 , gráfico para N=10 .

¿Me he perdido algo? ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Consideremos la función

$$f(x) = \sum_{k=1}^N\dfrac{\cos(2\pi k x)}{k^2}$$ $$\implies \left.f'(x)\right|_{x=0.5} = -\left.\sum_{k=1}^N\dfrac{2\pi k}{k^2}\sin(2\pi kx)\right|_{x=0.5}$$ $$=-\sum_{k=1}^N\dfrac{2\pi}{k}\sin(\pi k)=-\sum_{k=1}^N\left[\dfrac{2\pi}{k}\cdot 0\right]=0$$

$$\implies \left.f''(x)\right|_{x=0.5} = -\left.\sum_{k=1}^N\dfrac{4\pi^2 k^2}{k^2}\cos(2\pi k x)\right|_{x=0.5}$$ $$=-\sum_{k=1}^N4\pi^2\cos(\pi k )=2\pi^2\left[1 - (-1)^N\right]$$

¿Qué se puede concluir de estas observaciones? Vemos que para $x=0.5$ la primera derviativa se desvanece. La segunda derivada desaparece sólo para los casos pares $N$ . Para impar $N$ es positivo. Por lo tanto, podemos confirmar su coyuntura para impar $N$ ya que la segunda derviativa es positiva. Para los $N$ tenemos que seguir investigando la suma.

$$\implies f'''(0.5) = 0.$$

$$\implies \left.f^{(4)}(x)\right|_{x=0.5} = \left.\sum_{k=1}^N\dfrac{16\pi^4 k^4}{k^2}\cos(2\pi k x)\right|_{x=0.5}=\sum_{k=1}^N16\pi^4k^2\cos(\pi k )=\sum_{k=1}^N16\pi^4k^2(-1)^k$$ $$=16\pi^4\sum_{k=1}^N(-1)^kk^2=8\pi^2(-1)^N[N(N+1)]>0$$

Con esta información podemos escribir una aproximación de Taylor a esta función como

$$f(x) = f(0.5) + \dfrac{f'(0.5)}{1!}(x-0.5)+\dfrac{f''(0.5)}{2!}(x-0.5)^2 + \dfrac{f'''(0.5)}{3!}(x-0.5)^3 + \dfrac{f^{(4)}(0.5)}{4!}(x-0.5)^4 + O((x-0.5)^5)$$ $$\implies f(x) = f(0.5)+\dfrac{f^{(4)}(0.5)}{4!}(x-0.5)^4 + O((x-0.5)^5)$$

Podemos concluir de este polinomio, que tenemos un mínimo en $x=0.5$ como el coeficiente del $(x-0.5)^4$ es positivo, por lo que la suma es mínima cuando el término $(x-0.5)^4$ desaparece.