Representación Visual de el hecho de que no son más irracionales que los números racionales.

Question

Podría alguien sabe de un visual o incluso (de preferencia) representación geométrica de esto?

Para hacerlo más específico: Texto, símbolos y números escritos son predominantemente usan como etiquetas, y menos para representar a la (ir)racionales a sí mismos, o de las relaciones entre los dos grupos. Como, si usted necesita una imagen o una imagen por su respuesta, que probablemente es.

Por ejemplo:

No tiene que ser una rigurosa prueba, solo una aproximación visual-si es posible.

Al mismo tiempo, una (un poco de primaria) la explicación de por qué no tiene sentido tratar de visualizar esta relación (geométrico) es bienvenida.

Answer 1

Los racionales pueden ser asignada en la red de puntos de $(n, m)$, que son un conjunto infinito de puntos aislados en el plano.

El irrationals, por cualquiera de las formas estándar de de la asignación de dos reales en uno (como subir los dígitos de un par de reales) llenar todo el avión (con sutilezas acerca de dos representaciones o puntos de perdidas siendo desechada).

Answer 2

Aquí está una geométricas diferencia entre los racionales y los irrationals: la longitud de los racionales es igual a cero, mientras que la longitud de la irrationals es igual a infinito.

He aquí por qué los racionales tiene longitud cero. Comience con una enumeración de los racionales: $$p_1,p_2,p_3,... $$

Elija su favorito pequeño número positivo $\epsilon>0$.

Para cada una de las $k=1,2,3,...$, vamos a $I_k$ ser el intervalo centrado en a $p_k$ radio $\frac{\epsilon}{2^k}$. Ahora toma la unión de estos intervalos: $$X = I_1 \copa I_2 \copa I_3 \cup \cdots $$ La longitud total de $X$ no es más que la suma $$\text{Longitud}(I_1) + \text{Longitud}(I_2) + \text{Longitud}(I_3) + \cdots = \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2^2} + \frac{\epsilon}{2^3} + \cdots = \epsilon $$ Pero los racionales están contenidas en $X$, por lo que la longitud total de los racionales es en la mayoría de las $\epsilon$.

Pero usted puede repetir este argumento por más pequeño y más pequeño de los valores de $\epsilon$, acercándose a cero.

De modo que la longitud total de los racionales es cero.

Pero la longitud total de la irrationals es infinito, porque es igual a la longitud total de la totalidad de la línea real (que es infinito), menos de la longitud total de los racionales (que es cero).

Por lo tanto, hay más irrationals que racionales.

Ahora bien, este argumento puede sonar a pescado, pero resulta ser totalmente riguroso. Una vez que se han desarrollado a la medida de Lebesgue de la línea real, sustituir la frase "medida de Lebesgue" para "longitud", y tienes una prueba.

Answer 3

En general, mi forma favorita de pensar acerca de esto es pensar en una contables de ajuste (racionales) como el conjunto de todos finito de cadenas de $0$'s y $1$'s y una multitud innumerable (reales) como el conjunto de todas las secuencias infinitas de $0$'s y $1$'s.

Creo que esto hace que sea "geométricamente" obvio, al menos para mí.

EDIT 1: Cualquier contables está en bijection con $\mathbb N$, cada elemento de los cuales tiene un número finito de representación binaria. Del mismo modo, cualquier elemento de la $\mathbb R$ es (por la definición de la finalización de $\mathbb Q$) una secuencia infinita de números racionales, donde por ejemplo se podría arreglar el primer $n$ términos de la $n$'th elemento (es decir. $1,10,100,1001,10010,\ldots$).

Aunque la diagonal argumento es, en principio poco atractivo, de hecho, es geométricas en la naturaleza, y más sencillo de lo que parece. La idea es la siguiente:

Supongamos $\mathbb R$ es contable, entonces el intervalo de $[0,1]$ contables (debido a la bijection con $\tan^{-1}$) y hay un bijection $\phi:\mathbb N\to\mathbb [0,1]$ (denotamos $\phi(n)$$\phi_n$, y el $k$'th binario decimal de $\phi_n$$\phi_n^k$), y podemos enumerar todos los elementos de a $\mathbb R$

$$\label{matriz}\etiqueta{1}\phi_1=\phi_1^1\phi_1^2\phi_1^3\ldots\\ \phi_2=\phi_2^1\phi_2^2\phi_2^3\ldots\\ \phi_3=\phi_3^1\phi_3^2\phi_3^3\ldots\\ \vdots$$

ahora, considere el número real $$x=\tilde\phi_1^1\tilde\phi_2^2\tilde\phi_3^3\ldots$$ where $\tilde\phi_i^i=1-\phi_i^i$, entonces claramente lo que se deduce que $x\neq \phi_1$, $x\neq \phi_2$, $x\neq \phi_3$, etc... porque $x$ siempre no está de acuerdo con $\phi_i$ $i$'th decimal, y por lo tanto $x\not\in[0,1]$ porque si lo fuera, entonces no existirían algunos $i$ tal que $\phi_i=x$, lo que se demostró imposible. Contradicción.

La "geométrica" parte de este argumento es el hecho de que usted elija $x$ a ser el opuesto de la diagonal de la matriz \ref{arr}.

EDIT 2: no estoy seguro de que el pensamiento de este geométricamente es necesario, como lo oscurece el hecho de que countability vs uncountability no es realmente una propiedad de la "geometría" en la línea real. De hecho me gusta que Lee Mosher señaló la intuitiva propiedad supongo que estabas buscando (y en el dibujo) que los racionales tienen la "medida" de cero al irrationals han "medida" en el intervalo, pero como algunas personas se señaló en los comentarios, esto no es una caracterización de la cardinalidad. Es cierto que cada contables subconjunto de la recta real ha "medida" de cero, pero también hay innumerables conjuntos (1/3-conjunto de Cantor) también con la "medida" de cero.

Así que aquí es una prueba interesante me gusta que muestra que esto no es realmente un geométrica de la propiedad en el sentido de que estabas pensando, pero una propiedad de los conjuntos.

Volvimos a tomar un contable establece como todos finito secuencias binarias (que denominamos $C$), y una multitud innumerable como el conjunto de todas las funciones de $C\to \bf 2$ (donde $\bf 2$ denota el conjunto de $\{0,1\}$) que denotamos $\bf 2^C$. Vemos que $\bf 2^C$ es el mismo que el conjunto de todas las infinitas secuencias binarias, ya que el elemento $\phi\in\bf 2^C$ representa la secuencia de $\phi_1\phi_2\phi_3\ldots$.

Vamos a demostrar el siguiente lema (donde $B^A$ es el conjunto de todas las funciones $A\to B$):

Lema 1: (Lawvere) Si existe un surjective función de $\Theta:A\to B^A$, entonces cualquier función de $f:B\to B$ tiene un punto fijo.

Dado $f:B\to B$, considere la posibilidad de $g:A\to B$$g(a)=f(\Theta(a)(a))$, entonces a partir de la $\Theta$ es surjective existe $a_f$ tal que $\Theta(a_f)=g$, y por lo tanto $\Theta(a_f)(a_f)=g(a_f)=f(\Theta(a_f)(a_f))$, lo $\Theta(a_f)(a_f)$ es un punto fijo de $f$.

Ahora, supongamos que hubo un bijection $\Theta:C\to\bf 2^C$ (y por lo tanto surjection), entonces el mapa $$0\mapsto 1\\1\mapsto 0$$ tiene un punto fijo, lo que evidentemente no es el caso. Contradicción.

Answer 4

Los números racionales pueden representarse esquemáticamente como un "árbol" (por ejemplo, la Secuencia de Farey o de Stern–Brocot árbol). Tal árbol, continuó infinitamente, es un fractal. El borde exterior de la fractal siempre va a ser duro, mientras que los números reales (si una representación similar) sería suave.

Answer 5

Este es un poco más "geométrica", argumento, algo análogo a Cantor. Considere la posibilidad de cualquier secuencia de los distintos números reales $x_n$. Voy a construir un número real $y$ que no está en la secuencia, como el límite de una secuencia $y_n$. Comienza por la elección de $y_1 \ne x_1$. En la etapa de $n$, vamos a tener un número real $y_n$ que no es $x_1, \ldots, x_n$. Deje $a_1, \ldots, a_n$ $x_1, \ldots, x_n$ ordenados en orden creciente. Para su comodidad nos tomamos $a_0 = -\infty$ y $a_{n+1} = +\infty$. $x_{n+1}$ será en una de las $n+1$ abierto intervalos $(a_j, a_{j+1})$. Si le sucede que tiene $x_{n+1} = y_n$, vamos a $y_{n+1}$ ser un punto de $(x_{n+1}, a_{j+1})$, de lo contrario $y_{n+1} = y_n$. De hecho voy a tomar $$y_{n+1} = \cases{y_n + 10^{-n} & if $a_{j+1} = \infty$\cr y_n + 10^{-n} a_{j+1}-y_n) y en caso contrario} $$ Es fácil demostrar que esta es una secuencia no decreciente y acotada arriba, por lo tanto tiene un límite como $n \to \infty$, y que este límite no puede ser uno de los $x_n$.

Visualmente, creo que de $y_n$ como sentarse en un punto en una recta numérica, con el $x_n$ (single-point) de las piedras del granizo, que vienen de arriba, y manteniendo el número de la línea, ya que la tierra. Si una piedra de granizo golpea $y_n$, salta un poco a la derecha, pero por ejemplo una pequeña distancia que nunca va a conseguir mucho más cerca de cualquiera de los existentes granizo.