Estoy seguro de que la gente del sector lo sabe, pero yo no estoy en el sector. ¿Bajo qué condiciones (ya sea en el colector o en el mapa) es un difeomorfismo de un colector diferenciable $M$ a sí mismo homotópico a la identidad? ¿Es éste "normalmente" el caso (según alguna definición de "normalmente")? Y si es homotópica a la identidad, ¿podemos elegir que sea una homotopía de difeomorfismos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Matthew Read
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A su última pregunta la respuesta es generalmente no. Un difeomorfismo $f : S^n \to S^n$ tiene una clase de homotopía dada por su grado $\pm 1$ . Pero las clases de homotopía a través de difeomorfismos (usualmente llamadas isotopías) son el grupo de estructuras exóticas suaves sobre $S^{n+1}$ proporcionado $n \geq 5$ .
Existen grandes clases de variedades para las que las clases de homotopía de los difeomorfismos son razonables. Hiperbólica $n$ -para $n\geq 3$ tienen la propiedad de que las homotopías-equivalencias son homotópicas a las isometrías. Esto es la "rigidez de Mostow". Así que las clases de homotopía de difeomorfismos son lo mismo que las clases de homotopía de equivalencias en este caso, lo que es $Out(\pi_1 M)$ ya que las variedades hiperbólicas son $K(\pi,1)$ -espacios.
Si se generan los 3-manifolds a través de los desdoblamientos de Heegaard, hay un sentido en el que la mayoría de los 3-manifolds son hiperbólicos, por lo que lo anterior da una respuesta en un caso de su pregunta.
Pero en general no se sabe mucho sobre el mapa del olvido
$$\pi_0 Diff(M) \to \pi_0 HomEq(M)$$
Quizás el mayor obstáculo para entender este mapa es que sabemos muy poco sobre $\pi_0 Diff(M)$ .
En las altas dimensiones la teoría de la cirugía te da algunas herramientas.
Loren Pechtel
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En topología diferencial, existe la noción de "isotopía". Una isotopía de M es un autodiffeomorfismo que está unido a la identidad por una familia de autodiffeomorfismos de 1 parámetro. El conjunto de isotopías se denota Diff0(M), ya que es el componente neutro conectado en el grupo topológico Diff(M). El grupo cociente Diff(M)/Diff0(M) se denomina grupo de clases de mapeo (MPG) y ha sido muy estudiado para las superficies.
El MPG (cualquier superficie) es generado por los giros de Dehn.
Para el 2-toro, MPG(T2)=SL2(Z). En efecto, cualquier matriz A en SL(2,Z) es un difeomorfismo de R^2 que preserva Z^2, y por tanto un difeomorfismo de T^2=R^2/Z^2. La razón por la que no es isotópica a la identidad para A \neq id es que ni siquiera es homotópica a la identidad, ya que su acción sobre \pi_1 ¡(T^2)=Z^2 es también el propio A!
MPG(el disco menos k puntos) es el grupo de trenzas en k trenzas.
Para las superficies es cierto que un difeomorfismo que es homotópico a id es una isotopía (véase Gabai y muchos otros); pero en el caso genaral no tiene por qué serlo.
En general, un autodifeomorfismo f de M tiene que actuar por la identidad sobre los grupos de homotopía y los grupos de homología de M para ser homotópico a la identidad, y fácilmente harás muchos contraejemplos.
