Dejemos que $g \in L^{1}(\mathbb{T})$ . Demostrar que $|\hat{g}(n)| \leqslant ||g||_{1}$ para todos $n \in\mathbb{Z}$ y $\displaystyle \lim_{|n|\to\infty} \hat{g}(n)\to 0$ .
Respuesta
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El hecho de que $|\widehat{f}(n)|\leqslant \lVert f\rVert_{L^1}$ se puede obtener acotando el integrando de la integral que define $\widehat{f}(n)$ .
Podemos suponer que $g$ es una función simple, y por linealidad que $g$ es la función característica de un conjunto de Borel. Como la medida de Lebesgue es finita en $\mathcal T$ , lo aproximamos con $\chi_F$ , donde $F$ está cerrado. Así que podemos expresar $g$ como el límite en $L^1$ de funciones continuas. Existe un teorema que nos permite hacerlo cuando $g$ es un polinomio.
