Hace un iterado exponencial $z^{z^{z^{...}}}$ siempre tienen un periodo limitado

Question

Deje $z \in \mathbb{C}.$ Deje $t = W(-\ln z)$ donde $W$ es la Función W de Lambert. Definir la secuencia de $a_n$$a_0 = z$$a_{n+1} = z^{a_n}$$n \geq 1$, es decir $a_n$ es la secuencia de las $z, z^z, z^{z^z} ...$ a veces Esto se denomina iteración exponencial con base $z$.

Aquí estoy tratando de demostrar (o refutar) $2$ cosas:

1. Para cada $x \in \mathbb{R}$ hay $y^\star \in [0,\infty)$ tal que para cualquier $y \in \mathbb{R}$ $|y| > y^\star$ el iterado exponencial con base $z = x+ yi$ converge a un conjunto de $3$ periódico de acumulación de puntos. Como $|y| \to \infty$ $3$ puntos de enfoque de la órbita $\lbrace 0, 1, z \rbrace$

2. Deje $E = (e^{1/e} , \infty) \cup \lbrace s \in \mathbb{C}:|t| = |W(-\ln s)| = 1$ $t^n \ne 1$ todos los $n \in \mathbb{N} \rbrace$ Si $z \in \mathbb{C} \setminus E$, la iterada exponencial es limitada y no existe $k \in \mathbb{N}$ de manera tal que la iterada exponencial converge a un conjunto de $k$ periódico de acumulación de puntos.

He estado estudiando Daniel Geisler del tetration mapa; mi primera pregunta es, esencialmente, una formalización de algunas observaciones que he hecho. Mi segunda pregunta ha demostrado ser más problemático. He estado experimentando numéricamente por varios años, y he observado que un iterado exponencial que a veces se "tirachinas" a un barrio de $\infty$. Cuando esto sucede, puede ser muy difícil saber cuál es el siguiente términos.

La principal cosa que he intentado en estas situaciones es un tipo de análisis asintótico. El próximo plazo $a_{n+1}$ es considerado como el producto de $z^{\Re(a_n)}(z^i)^{\Im(a_n)}$. Hay $36$ posibilidades determinada por los signos de $\Re(a_n), \Im(a_n)$ e si $|z|, |z^i|$ mayor que, menor que, o igual a $1$. Normalmente, a pesar de que cada factor es $0, \infty,$ o es indeterminado tipo de $1^\infty$. Así que realmente sólo hay $4$ posibilidades: $0, \infty, 0\cdot\infty, 1^\infty$.

Si estoy "suerte" lo suficiente como para obtener $a_{n+1} \sim 0$, que fácilmente se puede ver que el "honda a $\infty$" es seguido por (aproximadamente) $\lbrace 0, 1, z, z^z, \ldots \rbrace$ lo Contrario me quedo atascado en el limbo: es posible que la secuencia entera es divergentes a $\infty$. Sin embargo, nunca he sido capaz de encontrar ejemplos concretos de esto, otro de $(e^{1/e} , \infty)$. Si me $a_{n+1}\sim \infty$ básicamente, esto me pone de nuevo al cuadrado uno; puedo hacer la misma pregunta acerca de $a_{n+2}$, es decir, es $0, \infty$, o algo más. Así, en la mayoría (si no todos) de los casos, siento que tengo que calcular explícitamente los términos siguientes; de lo contrario, no tengo manera de saber si toda la secuencia difiere de a $\infty$, o si algún término subsiguiente está muy cerca de a $0$.

Otro problema importante es que el siguiente término a menudo es tan grande que provoca un error de desbordamiento en mi calculadora. He intentado calcular la natural registros de los términos, el uso de la iteración $b_0 = \ln z, b_{n+1} = e^{b_n}\ln z$, pero a veces no ayuda, ya que todavía me dan errores de desbordamiento. Un ejemplo de esto es $z = -2.5.$ Después de sólo 6 de los términos de $a_n$ está en el orden de $10^{26649}$ $b_n$ tiene un casi idéntico valor después de 7 términos.

Nota: todos los de mi trabajo hasta ahora supone el uso de las principales ramas del logaritmo natural y la función W de Lambert.

Answer 1

Este es un intento de demostrar declaración 1. Mostrando que la conclusión vale para cualquier $y \in \mathbb{R}$ $|y| > y^\star$ básicamente se reduce a probar que $\lim\limits_{|y| \to \infty}(x+yi)^{x+yi} = 0$ fijos $x$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer $y >0$ desde $\bar z^{\bar z} = \overline{z^z}$. También podemos omitir el argumento de $(x+yi)^{x+yi}$ y muestran que $|(x+yi)^{x+yi}| \to 0$

$|(x+yi)^{x+yi}| = (x^2+y^2)^{x/2}e^{y\arctan(x/y)-y\pi/2}$. Desde $x$ es fijo $(x^2+y^2)^{x/2} \sim y^{x}$ y desde $y\arctan(x/y) \to x$ $y \to \infty$ tenemos $e^{y\arctan(x/y)-y\pi/2} \sim e^{-y} \implies (x+yi)^{x+yi} \sim y^{x}e^{-y} \to 0$ desde $e^{-y} \to 0$ más rápido que el de $y^{x} \to \infty$.

Todavía no estoy seguro de cómo mostrar que hay un menor valor $y^\star$ por lo que la conclusión es verdadera. Ni sé de una fórmula, o incluso de un algoritmo, para encontrar, aparte de un montón de la experimentación numérica.