El producto punto es el caso especial de un concepto más general, el producto interior. Si se tiene un espacio vectorial $ V $ sobre los reales o los números complejos, entonces un producto interno es un mapa $ f : V \times V \to \mathbb{C} $ o $ f : V \times V \to \mathbb{R} $ que es simétrica conjugada, definida positiva y lineal en su primer argumento. Solemos escribir $ f(u, v) = \langle u, v \rangle $ , en cuyo caso estas propiedades se pueden resumir de la siguiente manera:
- Simetría conjugada: $ \overline{\langle u, v \rangle} = \langle v, u \rangle $ , donde $ \bar{z} $ denota la conjugación compleja. Nótese que esto implica $ \langle u, u \rangle $ es siempre real para cualquier vector $ u $ .
- Definición positiva: $ \langle v, v \rangle \geq 0 $ para cualquier $ v \in V $ con igualdad si $ v = 0 $ .
- Linealidad en el primer argumento: $ \langle \alpha u + \beta v, w \rangle = \alpha \langle u, w \rangle + \beta \langle v, w \rangle $ où $ u, v, w \in V $ y $ \alpha, \beta $ están en el campo de los escalares.
Si $ V = \mathbb{R}^n $ entonces podemos fijar una base $ B = \{ b_i \in \mathbb{R}, 1 \leq i \leq n \} $ y definir $ \langle b_i, b_i \rangle = 1 $ y $ \langle b_i, b_j \rangle = 0 $ para $ i \neq j $ . Si esto se extiende a todos los $ \mathbb{R}^n $ por linealidad nos da
$$ \left \langle \sum_{k=1}^{n} c_k b_k, \sum_{j=1}^{n} d_j b_j \right \rangle = \sum_{1 \leq k, j \leq n} d_k c_j \langle b_i, b_j \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i d_i $$
donde la definición positiva se verifica fácilmente. Reconocerás esta expresión como la definición del producto punto. En efecto, si tomamos nuestra base $ B $ para ser la base estándar de $ \mathbb{R}^n $ entonces este producto interno es el producto punto.
¿Por qué este formalismo es más potente? Un resultado sobre el producto interior es la desigualdad de Cauchy-Schwarz, que dice que $ |\langle u, v \rangle| \leq |u| |v| $ où $ |u| = \sqrt{\langle u, u \rangle} $ . Esto nos dice que
$$ -1 \leq \frac{\langle u, v \rangle}{|u| |v|} \leq 1 $$
asumiendo que nuestro campo de escalares es $ \mathbb{R} $ . Vemos entonces que el arcocoseno de esta expresión está bien definido, por lo que podemos definir el ángulo entre vectores no nulos $ u $ y $ v $ como
$$ \theta = \arccos \left( \frac{\langle u, v \rangle}{|u| |v|} \right) $$
Las propiedades que esperamos que sean ciertas se verifican entonces fácilmente. Esta noción se extiende a espacios vectoriales de dimensión infinita sobre $ \mathbb{R} $ donde la definición del ángulo no es en absoluto obvia. Es entonces trivialmente cierto que tenemos $ \langle u, v \rangle = |u| |v| \cos(\theta) $ ya que así es como $ \theta $ se definió.
El producto cruzado es un concepto totalmente distinto que nos permite encontrar un vector ortogonal a dos vectores dados en $ \mathbb{R}^3 $ . Además, su magnitud también da el área del paralelogramo que abarcan los vectores. Estas propiedades pueden tomarse como la definición del producto cruzado (con el debido cuidado de la orientación), o pueden derivarse como teoremas a partir de la definición algebraica.
