Teorema de la ordenación del pozo, ordenación parcial

Question

En la página de Wikipedia sobre el teorema del ordenamiento del pozo

Para todo conjunto X, existe un ordenamiento con dominio X.

Además, se define un ordenamiento de pozos como un orden total estricto para que cada subconjunto tenga un elemento mínimo.

Ahora tengo un par de preguntas sobre esto:

1. ¿Significa esto que el conjunto X tiene un elemento mínimo? Después de todo X es un subconjunto de sí mismo (a menos que el teorema hable de subconjuntos estrictos).

2. Algunos libros (por ejemplo, Manifolds and Differential Geometry, de J.M. Lee, Apéndice B) definen un conjunto bien ordenado como aquel en el que existe un ordenación parcial para que cada subconjunto tenga un elemento mínimo. Y luego utiliza el teorema de ordenación de pozos junto con esta definición.

Puedo ver fácilmente que el teorema del ordenamiento del pozo implica esto (ya que todo ordenamiento total es un ordenamiento parcial), pero ¿hay alguna razón por la que se enuncia esta forma y no la "más fuerte" directamente? ¿Son acaso equivalentes?

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la definición requiere que cada no vacío tiene un elemento mínimo, ya que el conjunto vacío es siempre un subconjunto pero no tiene ningún elemento mínimo.

En segundo lugar, sí, significa que $X$ tiene un elemento mínimo, al menos si $X$ es no vacía. Exactamente porque es un subconjunto de sí mismo.

Y finalmente, si se entiende "menos" como "mínimo", entonces la respuesta es que las dos definiciones son equivalentes, ya que si $\{x,y\}$ es un subconjunto cualquiera de dos elementos, entonces tiene un mínimo, digamos $x$ , por lo que significa que $x<y$ . Por lo tanto, cada dos elementos distintos son comparables, y el orden es un orden total.

Si se entiende "menos" como "mínimo", la respuesta es, por supuesto, negativa, ya que la relación vacía es un orden parcial estricto en el que todo elemento es mínimo, por lo que todo conjunto no vacío es un elemento mínimo.