Como se señaló en los comentarios y la aceptación de respuesta, esto viene por el hecho de que si un prime $p$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados, entonces la representación es única hasta de conmutación y / o la negación de los factores. Un aficionado explicación para esto es el hecho de que $\mathbb Z[i]$ es un director ideal de dominio y su grupo de la unidad de es $\{\pm1,\pm i\}$. (Por supuesto, demostrando que $\mathbb Z[i]$ es un PID requiere de algún tipo de argumento como que en la imagen escaneada de la nota, pero esta es una forma más moderna para pensar en ello.) Una vez que uno sabe que es un PID, a continuación, supongamos que $p=u^2+v^2$. A continuación,$p=(u+iv)(u-iv)$, y el hecho de que $u+iv$ $u-iv$ han norma $p$ muestra que ellos no factor más en $\mathbb Z[i]$. Por lo tanto son irreducibles (es decir, se genera un primer ideales). Así que la única factorización del ideal de la $p\mathbb Z[i]$ es como el producto de la primer ideales $(u+iv)\mathbb Z[i]$$(u-iv)\mathbb Z[i]$. Por lo $u$ $v$ son únicos, hasta la conmutación de ellos o sustituirlos por sus puntos negativos, que corresponde a la multiplicación de $u+iv$ por cada una de las cuatro unidades en $\mathbb Z[i]$.
