Pregunta sobre la velocidad y la aceleración

Question

A continuación tengo una pregunta que intenté resolver en un examen. Tengo curiosidad por saber cuál es la forma real de plantear la pregunta. Lo que hice fue establecer la ecuación igual a $0$ y obtener $t = -3$ entonces conecté $3$ en la derivada de la ecuación y obtuve $128$ pies/segundo. Pero parece que lo he enfocado mal. ¿Cuál es la forma correcta de enfocar la cuestión y resolverla para las preguntas que aparecen a continuación?

Si una roca es lanzada hacia arriba en la Tierra, con una velocidad inicial de 32 pies/segundo desde lo alto de un edificio de 48 pies, podemos modelar la altura de la roca en el momento t mediante $s(t) = 16t^2+ 32t + 48$ . Después de lanzar la roca hacia arriba, en algún momento volverá a estar al nivel de la parte superior del edificio de 48 pies.

¿Cuál será la velocidad en ese momento?

Encuentra la aceleración, ¿por qué es constante?

Answer 1

Recordemos que para aceleración vertical constante sólo la posición del objeto viene dada por:

$$s\left(t\right) = s_0 + v_ot + \frac {1}{2} a t^2,$$

con una aceleración vertical constante $a$ velocidad y posición iniciales $v_0$ y $s_0$ respectivamente, y la posición vertical actual $s$ .

Como nuestra altura inicial y final son ambas $48$ pies, tenemos:

$$48 = 48 + 32t - 16t^2 \tag{2}$$

Resolver el tiempo hasta que la roca esté a la misma altura a la que empezó nos lleva a:

$$0= -16t^2 + 32t \implies t = 0, 2 \space \text{sec} \tag{3} $$

Obviamente la roca está a la misma altura en $t = 0$ Así que en $t = 2$ sec es donde hace un movimiento de parábola y vuelve a bajar a la altura original del $48$ edificio de pies.

Tomando la derivada de nuestra función de posición, $s(t)$ y conectando $t = 2$ nos deja:

$$s'(t) = -32t + 32 \implies v = -32 \space \text{feet/sec} \tag{4} $$

Tomar la derivada de nuevo nos lleva a:

$$s''(t) = -32 \space \text{feet per second per second} \tag{5}$$

Como era de esperar, $s''(t)=a$ es efectivamente constante, ya que la pelota sólo se acelera debido a la gravedad, que es aproximadamente $-32$ pies por segundo por segundo. Además, podrías notar que como la aceleración es la segunda derivada de una función de posición y nuestra función de posición era una cuadrática, se deduce que la función de aceleración es constante ya que al tomar la derivada cada vez se reduce la potencia. Además, como se observa en la ecuación (1), la fórmula sólo se mantiene para constante aceleración, por lo que es un poco circular ver que como su ecuación dada se ajusta a la fórmula del modelo (1), el objeto experimenta una aceleración constante.

Answer 2

Tenga en cuenta que en realidad no necesitamos saber $t$ . Por simetría, la velocidad cuando la roca alcanza de nuevo el nivel de "lanzamiento" debe ser el negativo de la velocidad de lanzamiento.

Como la velocidad de lanzamiento es $32$ La respuesta a la pregunta primero la pregunta debe ser $-32$ (pies por segundo).

Answer 3

Cuando la roca vuelve a estar a nivel del edificio, $s(t) = 48$ . Así que resolviendo el tiempo,

$-16t^2 + 32t = 0$ da $t=0,2$ . Por lo que parece que sólo cometió un error en su cálculo para $t$ . Su método para terminar la pregunta parece correcto, sólo que utilizando $t=2$ en su lugar.