Encontrar una función continua $f:[1,\infty)\to\Bbb R $ tal que $f(x) >0 $, $\int_1^\infty f(x)\,dx $ converge y $\int_1^\infty f(x)^2\,dx$ diverge

Question

Estoy tratando de encontrar un ejemplo de una función continua $f:[1,\infty) \to \Bbb R $ tal que $$f(x) >0 $$

$$\int_{1}^{\infty} f(x) \ dx \ \text{converges and } \int_{1} ^{\infty} f(x)^2 dx \ \text{diverges}.$$

Answer 1

Considerar en $x=k\in{\mathbb N}_{\geq2}$ trapezoidal pico de altura $k$ con base $\left[k-{2\over k^3},\ k+{2\over k^3}\right]$ y superior $\left[k-{1\over k^3},\ k+{1\over k^3}\right]$. Deje $f: \>[1,\infty)\to{\mathbb R}$ ser la función obtenida por la "concatenación" de estos picos. El área de la espiga en$k$${3\over k^2}$, por lo que $$\int_1^\infty f(x)\>dx=3 \sum_{k=2}^\infty {1\over k^2}={\pi^2\over2}-3<\infty\ .$$ Por otro lado cada pico de $f^2$ contiene un rectángulo de anchura ${2\over k^3}$ y la altura de la $k^2$. De ello se sigue que $$\int_1^\infty f^2(x)\>dx\geq\sum_{k=2}^\infty{2\over k}=\infty\ .$$ Agregar$e^{-x}$$f(x)$, como en Sangchul Lee la respuesta, para hacer de $f$ positiva en todas partes.

Answer 2

Definir $f$ por

$$ f(x) = \mathrm{e}^{-x} + \sum_{n=2}^{\infty} \max\{0, n - n^4|x - n|\}. $$

Es fácil comprobar que

$$ \int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{1}^{\infty} \mathrm{e}^{-x} \, \mathrm{d}x + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} < \infty. $$

Por otro lado,

$$ \int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x \geq \sum_{n=2}^{\infty} \int \max\{0, (n - n^4|x - n|)^2 \} \, \mathrm{d}x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{3n} = \infty. $$

El truco es para generar un tren de selecciones. El siguiente gráfico muestra la suma de la parte de $f$:

Selecciones están construidos para satisfacer las siguientes heurísticas: Cada recogida en $x = n$ es de la altura de la $\sim n$ y la anchura $\sim n^{-3}$, por lo que la zona es de orden $\sim n^{-2}$, cuando se eleva al cuadrado, sin embargo, su altura se obtiene el cuadrado y el área se vuelve de orden $\sim n^{-1}$.

Answer 3

Un simple ejemplo puede ser $f(x) = \frac{\sin{x}}{\sqrt{x}}$. Desde $\frac{1}{\sqrt{x}}$ es continuamente diferenciable y monótonamente decreciente para 0, y desde $\sin{x}$ tiene un limitado y integrables anti-derivada, de Dirichlet de la prueba de $\int\limits_1^{\infty}\frac{\sin{x}}{\sqrt{x}}dx$ converge. Integración por partes muestra que $\int\limits_1^{\infty}\frac{\sin^2{x}}{x}dx$ diverge.