1)¿Es cierto que cualquier función puede descomponerse como una diferencia de su parte positiva y su parte negativa como $f=f^{+}-f^{-}$ o esa función debe pertenecer a $\mathcal{L}^{1}(\mathbb{R})$ . También si esa función no pertenece a $\mathcal{L}^{1}(\mathbb{R})$ pero pertenece a $\mathcal{L}^{2}(\mathbb{R})$ entonces podemos seguir escribiendo la descomposición anterior.
2)Si $\int_\mathbb{R}f(x) dx=0$ entonces podemos decir que $f\in\mathcal{L}^{1}(\mathbb{R}).$
1) Sólo hay que definir $f^{+}\left(x\right)=\max\left\{ 0,f\left(x\right)\right\} $ y $f^{-}\left(x\right)=\max\left\{ 0,-f\left(x\right)\right\} $ .
Puis $f^{+}$ y $f^{-}$ son funciones no negativas con $\left|f\right|=f^{+}+f^{-}$ y $f=f^{+}-f^{-}$ .
Esto es válido para cualquier función $f$ .
2) $\int f\left(x\right)dx=0$ sólo puede ser cierto si las integrales $\int f^{+}\left(x\right)dx$ y $\int f^{-}\left(x\right)dx$ son finitos e iguales.
En ese caso $\int f\left(x\right)dx:=\int f^{+}\left(x\right)dx-\int f^{-}\left(x\right)dx=0$ .
Y también $\int\left|f\right|\left(x\right)dx:=\int f^{+}\left(x\right)dx+\int f^{-}\left(x\right)dx<\infty$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
