F.Kato tiene una declaración que dice que una curva suave logarítmica $f:(X, M,\alpha)\to (k,N,\beta)$ donde $k$ es un campo algebraico cerrado y $N$ es alguna estructura de registro fina en $k$ es equivalente a una curva de nudo puntiagudo en el artículo "Log sooth deformation and moduli of log smooth curves". Estoy bastante confundido con la estructura logarítmica $N$ en k, cuando se asocia una curva logarítmica suave a una curva de nodos puntuales.
Consideremos el siguiente ejemplo, $X$ sólo tiene un punto doble $x$ y sólo un punto marcado $s$ y $x\neq s$ . Sea $A=k[t_1, t_2]/(t_1t_2)$ , $U=Spec (A)$ sea una vecindad etale de $x$ con $x= (0,0)$ vemos que la estructura de registro sobre $U$ se define de la siguiente manera $\alpha:M_U:=k^*\oplus N^2 \to A $ por $\alpha(k_1,n_1,n_2)= k_1t_1^{n_1}t_2^{n_2}$ y la estructura del registro $N:=k^*\oplus \mathbb{N}$ y el mapa $\beta:N\to k $ definido por $\beta(k_1,0)=k_1$ y $\beta(k_1,n)=0$ para $n>0$ . El mapa $f$ en el monoide se define por lo siguiente $f^0:N\to M_U$ , $f^0(k_1,n)=(k_1,n,n)$ .
Por otro lado, dejemos que $B=k[T]$ , $V=Spec(B)$ sea una vecindad etale de $s$ con $s=(0)$ . Entonces la estructura logarítmica en V es $M_V:=k^*\oplus \mathbb{N}$ con $\alpha(k_1,n)=k_1T^n$ .
Ahora F. Kato reclamó una ampliación $M_U$ , $M_V$ a $X$ y definir $M:=M_U\oplus_{\mathcal{O}^{\times}_{X}} M_V$ entonces $(X, M, \alpha)$ es un logaritmo suave sobre $(k, N, \beta)$ . Mi pregunta es cómo definir el mapa $f^0 : N\to M$ en el monoide? En $U$ Ya se ha indicado anteriormente. Pero lo que sobre V, parece que es imposible definir tal mapa, para uno necesita satisfacer la siguiente relación: $ \alpha\circ f^0= i\circ \beta$ , donde $i: k\to k[T]$ es el mapa natural. Y una multa que $\alpha\circ f^0(k_1, n)=i(0)=0 $ para $n>0$ Sin embargo $0\notin Imge( \alpha)$ por lo que es imposible definir $f^0$ .
