Evaluar $\frac{0!}{4!}+\frac{1!}{5!}+\frac{2!}{6!}+\frac{3!}{7!}+\frac{4!}{8!}+\cdots$

Question

$$\frac{0!}{4!}+\frac{1!}{5!}+\frac{2!}{6!}+\frac{3!}{7!}+\frac{4!}{8!}+\frac{5!}{9!}+\frac{6!}{10!}+\cdots$$

Esto llega hasta el infinito. Probar con casos finitos puede ayudar.

Mi intento :Parece que va a ser $\frac{1}{18}$ . Mis cálculos muestran que se acerca a $\frac{1}{18}$ .

Answer 1

Un enfoque alternativo al fino de Behrouz a través de Función beta de Euler . Tenemos: $$\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 0}\frac{n!}{(n+4)!}=\sum_{n\geq 0}\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+5)}&=&\frac{1}{\Gamma(4)}\sum_{n\geq 0}B(4,n+1)\\&=&\frac{1}{6}\int_{0}^{1}\sum_{n\geq 0}x^{n}(1-x)^3\,dx\\&=&\frac{1}{6}\int_{0}^{1}(1-x)^2\,dx\\&=&\frac{1}{6}\int_{0}^{1}x^2\,dx = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}=\color{red}{\frac{1}{18}}.\end{eqnarray*}$$

Con el mismo enfoque es sencillo comprobarlo: $$ \sum_{n\geq 0}\frac{n!}{(n+k)!} = \color{red}{\frac{1}{(k-1)\cdot(k-1)!}}$$ para cualquier $k\in\mathbb{N}^+$ .

Lo mismo se puede conseguir reconociendo en el LHS un múltiplo de una serie telescópica.

Answer 2

Escriba $$\begin{align} {\frac{n!}{(n+4)!}}&=\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}=\\&=\frac{A}{(n+1)(n+2)(n+3)}-\frac{B}{(n+2)(n+3)(n+4)}\end{align}$$

que da $(n+4)A-B(n+1)=1 \implies A=B=1/3$

Entonces tenemos una serie telescópica:

$$\begin{align}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{n!}{(n+4)!}}=\frac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty }\left({\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}}-\frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}\right)=\frac{1}{18}\end{align}$$

Answer 3

Sólo un consejo; Para el número natural $n$ , $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)\cdots(k+m)}=\frac{1}{m}\left(\frac{1}{1\cdot 2\cdot \cdots\cdot m} -\frac{1}{(n+1)\cdot (n+2)\cdot \cdots\cdot (n+m)}\right) $$

Ahora, la suma infinita dada es igual a

$$\sum_{k=1}^n \frac{(k-1)!}{(k+3)!}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$$

introduciendo $m=3$ a la punta, obtendríamos

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{1}{3} \left( \frac{1}{1\cdot2\cdot3} -\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\right)$$

Toma el límite, $n \to \infty$ . $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{1}{3} \left( \frac{1}{1\cdot2\cdot3} -\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\right)$$ $$=\frac{1}{18}$$

---

Cómo descomponer la fracción; $$\frac{1}{k(k+1)\cdots(k+m)}=\frac{1}{m}\left(\frac{1}{k\cdot (k+1)\cdot \cdots\cdot (k+m-1)} -\frac{1}{(k+1)\cdot (k+2)\cdot \cdots\cdot (k+m)}\right)$$

Answer 4

$A=\frac{1}{4*6}+\frac{1}{10*12}+\frac{1}{18*20}+\frac{1}{28*30}+\frac{1}{40*42}+\frac{1}{54*56}...$

$2A=\frac{2}{4*6}+\frac{2}{10*12}+\frac{2}{18*20}+\frac{2}{28*30}+\frac{2}{40*42}+\frac{2}{54*56}...$

$2A=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\frac{1}{18}-\frac{1}{20}+\frac{1}{28}-\frac{1}{30}+\frac{1}{40}-\frac{1}{42}+\frac{1}{54}-\frac{1}{56}...$

Ahora escribo las fracciones negativas así:

$$-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$$

$$-\frac{1}{12}=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}$$

$$-\frac{1}{20}=\frac{1}{5}-\frac{1}{4}$$

$$-\frac{1}{30}=\frac{1}{6}-\frac{1}{5}$$

$$-\frac{1}{42}=\frac{1}{7}-\frac{1}{6}$$

$$-\frac{1}{56}=\frac{1}{8}-\frac{1}{7}$$

Y hacer esto hasta el infinito. La suma de todas las fracciones negativas son:

$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}+...=-\frac{1}{2}$

Ahora sí:

$2A=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{18}+\frac{1}{28}+\frac{1}{40}+...$

$2A=-\frac{1}{4}+\frac{1}{10}+\frac{1}{18}+\frac{1}{28}+\frac{1}{40}+...$

$2A=-\frac{1}{1*4}+\frac{1}{2*5}+\frac{1}{3*6}+\frac{1}{4*7}+\frac{1}{8*5}+...$

$6A=-\frac{3}{1*4}+\frac{3}{2*5}+\frac{3}{3*6}+\frac{3}{4*7}+\frac{3}{5*8}+...$

$6A=-1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+...$

$6A=-1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$

$6A=\frac{1}{3}$

$A=\frac{1}{18}$