¿En qué consisten las unidades de un álgebra afín?

Question

Supongamos que $K$ es un campo local completo y $A$ es un afín $K$ -Álgebra. ¿Existe una forma conocida de producir una descripción explícita de las unidades de $A$ ?

Esto es lo que ya sé: escribir $A^\circ$ para el subring de elementos de $A$ de norma como máximo $1$ y $A^{\circ\circ}$ para el ideal de $A^\circ$ formado por todos los elementos de norma estrictamente menor que $1$ . Ciertamente, cada elemento de $1+A^{\circ\circ}$ es una unidad en $A$ . También lo es todo elemento no nulo de $K$ . Llamemos al grupo generado por estas unidades el grupo de unidades estándar de $A$ . Creo que si el anillo $A^\circ/A^{\circ\circ}$ es primo, entonces todas las unidades de $A$ son estándar.

También sé que en general puede haber unidades no estándar. Quizás una pregunta más fácil que la anterior sea `debe el grupo de unidades de $A$ modulo el grupo de unidades estándar sea finitamente generado?".

Tengo en mente una aplicación concreta para solucionar esto, pero creo que la cuestión es lo suficientemente interesante por sí misma y la aplicación lo suficientemente alejada del problema como para que no merezca la pena explicarla ahora.

Edición: teniendo en cuenta algunos de los comentarios/respuestas de abajo, probablemente quiera modificar mi definición de unidades estándar para incluir cualquier elemento no nulo de una extensión de campo finito de $K$ dentro de $A$ .

Edición 2: gracias por la ayuda hasta ahora... En realidad, estoy feliz de considerar como "estándar" cualquier cosa en $A^\circ$ que es una unidad como elemento de $A^\circ$ si eso facilita las cosas.

Answer 1

No es una respuesta, sino algunos ejemplos quizás pertinentes.

Una pega es que cualquier unidad en $A$ puede ser escalado hasta que esté en $A^0$ pero no creo que se pueda garantizar también que no esté en $A^{00}$ . Aquí hay una afinoide divertida: $\mathbf{Q}_p\langle X,Y\rangle/(Y^2-pX)$ . Es el disco unitario de radio $1/\sqrt{p}$ con el parámetro $Y$ , pero se define sobre $\mathbf{Q}_p$ ¡! Así que $|Y|=1/\sqrt{p}$ tiene norma no en $|K|$ . No es una unidad, pero si se quita un disco abierto que contenga 0 (por ejemplo, lanzando otra variable $Z$ y añadiendo la relación $YZ=1$ ) lo será. Así que hay un ejemplo en el que existirán unidades no estándar, supongo.

Un ejemplo aún más tonto: dejemos que $A$ sea una extensión de campo finito $L$ de $K$ con la norma inducida. Entonces $A^0$ serán los enteros de $L$ las unidades estándar serán $K^\times$ por las 1 unidades de $L$ y si $L$ se ramifica entonces de nuevo tienes unidades no estándar. Sin embargo, en este caso $A^0/A^{00}$ podría ser el campo con $p$ elementos, que seguramente es "primo" sea cual sea tu definición de "anillo primo", así que no entiendo eso que dices que crees en la pregunta.