Encontrar los puntos de una línea con dirección y distancia conocidas que une 2 elipses

Question

Tengo 2 elipses, digamos $e_1$ y $e_2$ .

Quiero trazar una línea $l$ conectando $e_1$ y $e_2$ en una dirección conocida $(u,v)$ con una distancia conocida $d$ .

¿Hay alguna manera de resolver los puntos de intersección de $l$ en ambos $e_1$ y $e_2$ ? Estoy implementando esto en el software y la única forma que se me ha ocurrido es probar cada punto en $e_1$ pero estaba pensando si hay una forma analítica.

Answer 1

Porque sabes la dirección $(u,v)$ de su línea de conexión, puedes imaginar una colección de líneas paralelas paralelas que se cruzan $e_1$ y $e_2$ , todo en dirección $(u,v)$ :

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Es relativamente fácil calcular la intersección de una línea y una elipse. Por ejemplo, aquí está una explicación ; aquí es otra. Si los puntos de intersección son $p_1$ y $p_2$ para una línea $L$ , quiere resolver $||p_1 - p_2|| = d$ para encontrar la línea $L$ cuyos puntos de intersección son $d$ aparte.

Answer 2

Podemos utilizar los multiplicadores de Lagrange con 2 restricciones (las dos ecuaciones de las elipses) y la función minimizada.