Estudiar una secuencia: $x_{n+1} = x_n + \frac{1}{a}\cdot x_n^{1-a}$

Question

Supongamos una secuencia $(x_n)_{n\ge0}, \:$ como $\: \: x_{n+1} = x_n + \frac{1}{a}\cdot x_n^{1-a}\: \: \: \forall n \ge 0, a\ge 1, x_0 =1$ .

He encontrado $x_1 = \frac{1}{a} + 1$ , dedujo que todos los términos son positivos y que $(x_n)$ es ascendente.

Tengo que encontrar $$\lim _{n \to \infty} x_n$$ y $$\lim _{n \to \infty} \frac{x_n^a}{n}$$

He intentado resolver el primer límite y quiero saber si esta forma de pensar es correcta:

Suponiendo que el límite existe y $\lim _{n \to \infty} x_n = l \Rightarrow l = l + \frac{1}{a}\cdot l^{1-a} \Rightarrow l^{1-a} = 0 $ s0 $l = 0$ . Eso significaría que si el límite existiera sería $0$ . Esto significa que $(x_n)$ diverge (porque sabemos que $x_n > 0 \:\forall n \ge 0$ ), y $x_n$ tiende a $\infty$ a medida que n llega a $\infty$ . Si esto es correcto, ¿se aplicaría si hubiera una igualdad como $2l = 2l $ ? ¿Se puede decir también en este caso que las series divergen?

Answer 1

Aplicando el teorema de Stolz-Cesaro al segundo límite obtenemos

$$\lim _{n \to \infty} \frac{x_n^a}{n} = \lim _{n \to \infty} \frac{x_{n+1}^a - x_n^a}{n+1-n} = \lim _{n \to \infty} (x_n + \frac{1}{a}\cdot x_n^{1-a})^a - x_n^a = \lim _{n \to \infty} x_n^a[(1+\frac{1}{a} \cdot x_n^{-a})^a - 1] = \lim _{n \to \infty} x_n^a \cdot \frac{(1 + \frac{1}{a\cdot x_n^a})^a - 1}{\frac{1}{a\cdot x_n^a}}\cdot \frac{1}{a\cdot x_n^a} = a \cdot \frac{1}{a} = 1$$

Utilicé $$\lim _{n \to \infty} \frac{(1+x_n)^a - 1}{x_n} = a$$ donde $$\lim _{n \to \infty} x_n = 0$$