Es $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ ¿está relacionado de alguna manera con el anillo Quotient?

Question

No puedo dejar de notar que son exactamente iguales. Por ejemplo:

$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ = $\lbrace p + q\sqrt{3}:p,q \in \mathbb{Q}\rbrace$

Eso parece exactamente un ideal. Sólo que el sqrt ocupa el lugar de los ideales. Las operaciones de este anillo parecen bastante similares también

Answer 1

En mi comentario anterior dije que la similitud es superficial, pero quizá no sea del todo cierto. Ciertamente, los múltiplos de $\sqrt 3$ no forman un ideal, pero sí un subgrupo aditivo y un subespacio como $\mathbb Q$ espacio vectorial. Por lo tanto, forman un subgrupo normal y se puede tomar el cociente para obtener (un grupo isomorfo a) $\mathbb Q$ . Aunque se trata de un homomorfismo de espacios vectoriales/grupos abelianos, no es un homomorfismo de anillo.