Cuáles son las fibras de una gavilla simplicial representable (en la topología de Nisnevich)

Question

Dejemos que $k$ sea un campo y $X$ un suave $k$ -esquema. Consideramos ahora la gavilla de Nisnevich simplificada puntiaguda (constante) $X_{+}$ que está representado por $X$ . Dejemos ahora $\nu\in U$ sea un punto de un esquema suave, entonces la fibra de $X_{+}$ en $\nu$ se define como $\text{colim} \\ X_{+}(V)$ donde el colímite es sobre todos los barrios de Nisnevich $V$ de $\nu$ . ¿Qué es esta fibra ahora? ¿Es sólo el conjunto simplicial constante asociado al conjunto de todos los puntos de $X$ con campo de residuos isomorfo al de $\nu$ ?

Y como pregunta adicional; Si tengo un morfismo $f:X\rightarrow Y$ entre dos lisos $k$ -cuando es el morfismo asociado de las láminas simpliciales de Nisnevich $f_{+}:X_{+}\rightarrow Y_{+}$ ¿una equivalencia débil simplicial? Por ejemplo, en el caso de que $Y$ es irreducible y $f$ una inmersión abierta de un subesquema abierto denso $X$ ?

Answer 1

Dejemos que $N:=\textrm{Neigh}\_{Nis}(U,\nu)$ denotan la categoría filtrada de vecindades de Nisnevich del punto $\nu\in U$ . Entonces $\textrm{colim}\_{V\in N^{op}} V\cong \textrm{spec}(\mathcal{O}^{h}\_{U,\nu})$ , donde $N^{op}$ denota la categoría opuesta de $N$ y $\mathcal{O}^{h}\_{U,\nu}$ es la henselización del anillo local $\mathcal{O}\_{U,\nu}$ . Mi suposición ahora sería que la fibra es el conjunto simplicial constante asociado al conjunto $\textrm{Hom}\_{k}(\textrm{spec}(\mathcal{O}^{h}\_{U,\nu}),X)$ .

Tal vez alguien pueda aclarar esto, así como su segunda pregunta.

Answer 2

Parece que probablemente necesitas una condición más fuerte para los lementos de la fibra. En concreto, no basta con que los campos de residuos sean isomorfos. También debe haber un morfismo en los anillos locales de Nisnevich. Así, imagino que $$colim X\_+(V)$$ debe corresponder al conjunto de todos los puntos de $X$ tal que la henselización del anillo local es isomorfa a la henselización del anillo local de $\nu$ .