¿Por qué simplificar una función le da otro límite?

Question

Me preguntan:

$$\lim_{x\to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 + 2x -3}$$

Esto obviamente no se puede evaluar ya que el denominador es igual a $0$. La solución es:

$$\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+3)}$$ $$\lim_{x\to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 3}$$ $$\frac{1+1+1}{1+3} = \frac{3}{4}$$

Mi pregunta: ¿Qué está sucediendo en realidad? ¿Cómo puede simplificar una función darle otro límite? ¿Es una función completamente distinta y, de ser así, por qué sería relevante para nuestra pregunta original?

Answer 1

Tal vez tú (y creo que muchos principiantes en cálculo) tienes la noción de que el límite de una función se evalúa enchufando el valor de la variable. Así que para la función $$ f(x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 2x - 3}\tag{1} $$ dices que su límite cuando $x \to 1$ no se puede evaluar enchufando $x = 1$ porque el denominador se anula.

Es muy importante entender que el límite de una función en un punto es algo completamente diferente del valor de la función en ese punto. El límite de una función en un punto no tiene nada que ver con el valor de la función en ese punto, pero tiene todo que ver con los valores de la función cerca de ese punto.

¡Sin embargo, hay un truco! Hay muchas funciones comunes en cálculo para las que el límite en un punto resulta ser el mismo que su valor en ese punto y por lo tanto para tales funciones es posible evaluar el límite simplemente enchufando. Creo que es este comportamiento de algunas funciones combinado con el hecho que describí en el último párrafo lo que crea una total confusión en la mente de un principiante. En un momento menciono que el límite no es igual al valor de una función y luego menciono que para algunas funciones el límite es igual a su valor. ¡Realmente confuso!

La única forma de aclarar esta confusión es aprender a identificar al menos algunos tipos básicos de funciones que tienen esta propiedad agradable de que su límite en un punto es igual a su valor en ese punto. A tales funciones se les llama funciones continuas. Usando una serie de teoremas sobre límites se puede demostrar de manera paso a paso que cualquier función compuesta de funciones algebraicas (que incluye polinomios y funciones racionales), trigonométricas (directas e inversas), logarítmicas y exponenciales utilizando un número finito de operaciones aritméticas y composiciones es continua donde esté definida. El tipo de función descrito en la última oración se llama una función elemental.

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La función $f(x)$ dada por la ecuación $(1)$ es una función elemental y necesitamos calcular su límite cuando $x \to 1$. De lo que mencionamos en el último párrafo es claro que podemos evaluar su límite simplemente enchufando siempre que esté definido en el punto en consideración. El problema es que $f(x)$ no está definida en $x = 1$. Entonces usamos el hecho mencionado al principio de que $\lim_{x \to 1}f(x)$ no tiene nada que ver con su valor en $x = 1. La operación de límite $\lim_{x \to 1}$ asegura que $x \neq 1$ y ahora podemos utilizar cualquier tipo de transformación en $f(x)$ bajo la suposición de que $x \neq 1$ y tratar de simplificarlo en la forma de una función elemental que quizás esté definida en $x = 1.

Aquí tenemos suerte y al cancelar el factor $x - 1$ del numerador y del denominador llegamos a otra función $$ g(x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 3}\tag{2} $$ Nota que tanto $f$ como $g$ son funciones diferentes ($f$ no está definida en $x = 1$ mientras que $g$ está definida ahí), pero $f(x) = g(x)$ siempre que $x \neq 1$. Por lo tanto, en cuanto a la operación de límite $\lim_{x \to 1}$, ambas $f(x), g(x)$ tienen el mismo comportamiento. Y ahora vemos que $g(x)$ también es una función elemental y está definida en $x = 1$ y por lo tanto su límite cuando $x \to 1$ es igual a su valor $g(1) = 3/4$. Por lo tanto, el límite de $f(x)$ cuando $x \to 1$ también es $3/4$.

Answer 2

Al simplificar, estás eliminando la discontinuidad puntual, también llamada adecuadamente discontinuidad eliminable, en $x = 1$.

Answer 3

No es que la función simplificada tenga un límite diferente, es que el límite de la expresión original no se puede encontrar por evaluación. En otras palabras, escriba $$ f(x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 2x - 3},\qquad g(x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 3} = \begin{cases} f(x) & x \neq 1, \\ \frac{3}{4} & x = 1. \end{cases} $$ Dado que $g$ es un cociente de polinomios con denominador distinto de cero en $x = 1$, su límite en $1$ se puede encontrar por evaluación. El límite de $f$ en $1$ tiene el mismo valor, ya que $f(x) = g(x)$ para todo $x \neq 1.

Answer 4

Creo que lo importante de entender es que el límite no necesariamente tiene que ver con el valor actual de la función en el punto, o si incluso tiene un valor en absoluto. Es posible que la función sí tenga un valor cuando introduces el número en la expresión, pero aún así no es el valor del límite (una función así no sería continua). Cuando haces la división, en realidad estás cambiando la función de una que no tiene valor en el punto a una que sí tiene valor, y la relación entre las funciones es que el valor de la nueva es igual al límite de ambas.

Answer 5

Considera $$\lim_{x=2}{x^2-4\over x-2}.$$ Factorizamos y simplificamos esto para obtener $${x^2-4\over x-2}=x+2.$$

En una clase de álgebra elemental, pensamos en estas dos expresiones como iguales. Pero no lo son. Ambos lados producirán el mismo valor para cada $x$ excepto $x=2$. El lado izquierdo es indefinido para $x=2$ mientras que el lado derecho produce $4$.

Una buena forma de entender el límite es considerar los gráficos. Por supuesto, el gráfico de $y=x+2$ es una línea con pendiente $1$ e intersección en el eje $y$ $(0,2)$. Por otro lado, el gráfico de $y=(x^2-4)/(x-2)$ es la misma línea con un agujero en $(2,4)$.