$ \lim\limits_{x \to \infty} x^2(4^{\frac{1}{x}} - 4^{\frac{1}{1+x}}) $

Question

Hice un sustituto $t = \frac{1}{x}$ ahora tengo $ \lim\limits_{t \to 0} \frac{4^{t} - 4^{\frac{t}{1+t}}}{t^2} $ . Tuve la idea de añadir $+1 -1$ así $ \lim\limits_{t \to 0} \frac{(4^{t} - 1) -(4^{\frac{t}{1+t}})-1}{t^2} $ para poder separar $\frac{4^{t}-1}{t}$ de todo el límite y tratar de reducirlo a uno más pequeño, pero todavía me queda $\lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t}$ y la otra mitad. No sé si podría hacer algo más a partir de este momento y me he quedado sin ideas.

Answer 1

Sus sumas y restas $1$ La idea era buena, sin embargo, sólo funciona cuando la diferencia arriba resulta en algo de orden lineal como $t$ . Pero cuando se restan los dos términos del numerador, queda algo de orden cuadrático como $t^2$ . En su lugar, suma y resta $1+t\log 4 $

$$\lim_{t\to0^+}\frac{(4^t-1-t\log 4 ) - (4^{\frac{t}{t+1}}-1-t\log 4 )}{t^2}$$

Ahora podemos dividir los dos límites. Por la definición de la derivada, tenemos que

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{(x-a)^2} = \frac{1}{2}f''(a)$$

siempre que el límite exista (lo que ocurrirá si la función es al menos dos veces diferenciable). Esto significa que el primer límite se evalúa como

$$\lim_{t\to0^+}\frac{4^t-1-t\log 4 }{t^2} = \frac{\log^2 4}{2}$$

Para la segunda pieza, utilice la sustitución $s = \frac{t}{t+1} \implies t = \frac{s}{1-s}$

$$\lim_{s\to0^+}\frac{4^s-1-\frac{s\log 4}{1-s} }{\left(\frac{s}{1-s}\right)^2} = \lim_{s\to0^+}\frac{4^s-1-s\log 4 }{s^2}\cdot\frac{1}{(1-s)}-\frac{4^s-1}{s}\cdot\frac{1}{(1-s)^2}$$

$$= \frac{\log^2 4}{2}\cdot 1 - \log 4 \cdot 1 = \frac{\log^2 4}{2} - \log 4$$

lo que significa que la respuesta final es

$$\frac{\log^2 4}{2} - \left(\frac{\log^2 4}{2} - \log 4\right) = \boxed{\log 4}$$

Answer 2

Teorema del valor medio, para $f(x)=4^x$ con $f'(x)=4^x\ln 4$ : Existe un $\xi_x\in\big(1/x,1/(x+1)\big)$ , de tal manera que $$ 4^{\frac{1}{x}}-4^{\frac{1}{x+1}}=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)4^{\xi_x}\ln 4=\frac{4^{\xi_x}\ln 4}{x(x+1)} $$ Claramente $\lim_{x\to\infty}\xi_x=0$ y por lo tanto $\lim_{x\to\infty}4^{\xi_x}=1$ . Por lo tanto, $$ \lim_{x\to\infty}x^2\big(4^{\frac{1}{x}}-4^{\frac{1}{x+1}}\big)= \lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x(x+1)}4^{\xi_x}\ln 4=\ln 4. $$

Answer 3

Escribe $$\frac{4^t-4^{t/(t+1)}}{t^2}=4^{t/(t+1)}\cdot\frac{4^{t^2/(t+1)}-1}{\frac{t^2}{t+1}}\cdot\frac{1}{t+1} $$ y utilizar el límite estándar $\lim_{u\to 0}\frac{a^u-1}{u}=\log a$ para encontrar $$\begin{align} \lim_{t\to 0}\frac{4^t-4^{t/(t+1)}}{t^2}&=\lim_{t\to 0}4^{t/(t+1)}\cdot\lim_{t\to 0}\frac{4^{t^2/(t+1)}-1}{\frac{t^2}{t+1}}\cdot\lim_{t\to 0}\frac{1}{t+1}\\ &=1\cdot \log 4\cdot 1=\log 4 \end{align}$$

Answer 4

Demasiado largo para un comentario.

El límite mismo se ha dado en las respuestas. Sin embargo, podríamos ir más allá del límite ya que podríamos plantear el problema pensando en la pérdida de precisión al trabajar con una precisión limitada.

Para generalizar el problema, consideremos $$y=x^2(a^{\frac{1}{x}} - a^{\frac{1}{x+b}})-b \log(a)\qquad \text{with}\qquad b >0$$ Utilizando los mismos pasos que en otras respuestas, podemos demostrar que $$y=b \log (a)\Bigg[\frac{\log (a)-b}{x}+\frac{\log ^2(a)-3 b \log (a)+2 b^2}{2 x^2}\Bigg]+O\left(\frac{1}{x^3}\right)$$

Para una simple ilustración, utilizando $a=e^2$ , $b=1$ y $x=10^{15}$ lo anterior da como resultado $$y=2\times 10^{-15}$$ mientras que calculado con una precisión limitada el resultado sería $0$ .