La combinación lineal de dos vectores $cv + dw$ en $R^2$ se encuentra en la línea que pasa por v y w cuando $ c + d = 1$

Question

Estoy repasando el libro de Gilbert Strang Introducción al Álgebra Lineal Edición 4. Necesito ayuda con una de las preguntas del ejercicio.

Pide dibujar la línea de todas las combinaciones $cv + dw$ tal que $c + d = 1$ . Puedo comprobar que todas estas combinaciones lineales de v y w se encuentran efectivamente en la recta que pasa por v y w de la siguiente manera:
Sea el punto de cola de v $(x_1, y_1)$ y w sea $(x_2, y_2)$ . Por lo tanto, la ecuación de la línea sería
$ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$

Se puede comprobar que el punto $(cx_1 + dx_2, cy_1 + dy_2)$ satisface la ecuación de la recta. Pero, ¿hay alguna significado geométrico o intuición por la que se puede realizar que dichas combinaciones lineales se sitúen en esta línea?

Esto muestra la combinación lineal $u$ cuando $c = d = 1/2$

Answer 1

Uno de ellos está en el diagrama de tu pregunta. Por la regla del paralelogramo podemos ver que el segmento punteado corresponde a $\mathbf d = \mathbf w-\mathbf v$ (o $\mathbf v-\mathbf w$ según la dirección a la que se dirija). La línea está formada por los puntos que se pueden alcanzar sumando algún múltiplo de $\mathbf d$ à $\mathbf v$ es decir, $\mathbf v+\lambda(\mathbf w-\mathbf v) = (1-\lambda)\mathbf v+\lambda\mathbf w$ . Lo que esto dice es que cualquier proporción de $\mathbf w$ estás añadiendo, para mantenerte en la línea tienes que quitar esa misma proporción de $\mathbf v$ y así los coeficientes se mantienen equilibrados.

Otra forma de verlo es que la línea que pasa por $\mathbf v$ y $\mathbf w$ es la imagen de la línea $x+y=1$ bajo una transformación lineal que mapea $(1,0)$ à $\mathbf v$ y $(0,1)$ à $\mathbf w$ . Esta transformación mapea el punto $(x,y)$ à $x\mathbf v+y\mathbf w$ , pero todavía tienes la restricción de que $x+y=1$ : debido a la linealidad de la transformación, eso no cambia.

Por cierto, esto se llama combinación afín de $\mathbf v$ y $\mathbf w$ . También te encontrarás con estos con más puntos o vectores en otros contextos.