¿Cómo podemos demostrar que el sistema de coordenadas parabólico en dos dimensiones es ortogonal? He intentado utilizar el producto punto, pero no sé por dónde empezar ni qué vectores base se pueden utilizar en dos dimensiones. En tres dimensiones normalmente demostraría que el producto punto de los vectores base es cero, pero no sé el $2$ -D vectores base para coordenadas parabólicas, ¿alguna pista?
El $2$ -El sistema D se define como:
$$ x= \mu \kappa$$ $$ y = \frac{1}{2}(\mu^2-\kappa^2) $$
Puedes pensar en tus coordenadas como una parametrización ${\bf r}$ del subconjunto apropiado del $xy$ -en el plano de coordenadas. Entonces, en la base de coordenadas $(x, y)$ , \begin{align} \partial_{\kappa} &= {\bf r}_{\kappa} = (\mu, -\kappa) \\ \partial_{\mu} &= {\bf r}_{\mu} = (\kappa, \mu) . \end{align}
La informática da $$\partial_{\kappa} \cdot \partial_{\mu} = 0.$$
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