La convergencia en la medida implica que las secuencias alternas convergen a cero en la medida

Question

Este problema surgió al estudiar para un qual.

Supongamos que $\{f_{n}\}$ es una secuencia de funciones medibles que convergen en medida a $f$ . Demostrar que la secuencia $\{g_{n}\}$ , donde $g_{n} = (1)^{n}f_{n}$ converge en medida a una función $g$ si y sólo si $f= 0$ casi en todas partes.

Yo tengo la dirección contraria. Para la dirección hacia adelante, me gustaría aprovechar el hecho de que el $\{f_n\}$ admite una subsecuencia, digamos $\{f_{n_k}\} \to f$ con el punto de vista. De la misma manera, $\{g_{n_j}\} = \{(-1)^{n_j}f_{n_j} \} \to g$ a punto. Tal vez pueda refinar las subsecuencias y utilizar de alguna manera el hecho de que $(-1)^n$ ¿diferencia para llegar a la conclusión?

Answer 1

La secuencia $(g_{2n})$ converge en medida a $f$ y la secuencia $(g_{2n+1})$ converge en medida a $-f$ por lo que $g=f$ y $g=-f$ en casi todas partes, por la unicidad del límite en la medida. Por lo tanto, $f=0$ casi en todas partes.