Grupo de Galois de un producto

Question

P: Sea K el campo de división para $(x^{5}-1)(x^{3}-2)$ en $\mathbb{Q}$ . Calcular la cardinalidad del grupo de Galois $G$ para $\mathbb{Q} \subset K$ y demostrar que G no es abeliano.

Así que primero calculé los campos de división y los grupos de Galois para los dos factores. Para el primer factor es simplemente $\mathbb{Q}(\zeta_{5})$ y el grupo es $Z^{\times}_{5}$ y para el otro es $\mathbb{Q}(\zeta_{3}, \sqrt[3]{2})$ y el grupo de Galois es $S_{3}$ .

El campo de división del polinomio es entonces la unión de los dos campos de división, ya que contiene todas las raíces, y al mismo tiempo es el campo más pequeño que contiene $\mathbb{Q}(\zeta_{3}, \sqrt[3]{2})$ y $\mathbb{Q}(\zeta_{5})$ .

Ahora, me gustaría decir $\mathbb{Q}(\zeta_{3}, \sqrt[3]{2})\cap\mathbb{Q}(\zeta_{5})=\mathbb{Q}$ , en cuyo caso $Gal(Q/K)=Z^{\times}_{5}\times S_{3}$ que es entonces no abeliana de orden $24$ pero no estoy seguro de cómo decir esto. Intuitivamente, ya que $\sqrt[3]{2}$ está en una extensión de grado 3, no puede estar en una extensión de grado 4, por lo tanto no está en $\mathbb{Q}(\zeta_{5})$ Así que nos queda considerar $\mathbb{Q}(\zeta_{3})\cap\mathbb{Q}(\zeta_{5})=\mathbb{Q}$ lo cual es cierto ya que 3 y 5 son coprimos, pero ¿es esto correcto?

¿Hay alguna manera más formal de demostrar que la última afirmación que he hecho es cierta (si es que es cierta)?

Answer 1

(Pasar el comentario a una respuesta) Una forma sencilla de completar su argumento es utilizar los bits conocidos sobre los subgrupos de $S_3$ . Tiene cuatro subgrupos no triviales: $A_3$ generados por cualquiera de los tres ciclos y tres subgrupos de orden dos generados por un solo ciclo de dos cada uno. Por tanto, sólo hay un subgrupo de índice dos. Por correspondencia de Galois esto significa que $\Bbb{Q}(\root3\of2,\zeta_3)$ tiene sólo un subcampo que es cuadrático sobre los racionales, a saber $\Bbb{Q}(\zeta_3)$ .

El OP está claramente en posesión de los resultados que le llevaron al destino a partir de este punto.