Resolver la SDE $dY = Adt + BYdW, Y(0) = Y_0$ ?

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente EDE:

$dY = Adt + BYdW$ , donde $Y(0)=Y_0$ .

Hasta ahora, he hecho lo siguiente.

Primero, a partir del Lemma de Ito, tenemos:

$d(ln(Y))=\frac{1}{Y}dY-\frac{1}{2Y^2}dY^2$ .

Comparando con el SDE original, vemos que:

$\frac{1}{Y}dY=d(ln(Y))+\frac{1}{2Y^2}dY^2$

Así que..,

$d(ln(Y))+\frac{1}{2Y^2}(B^2Y^2)dt=\frac{1}{Y}Adt+B dW$ .

No sé qué hacer a partir de aquí. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Inspirado en el movimiento browniano geométrico, el conjunto $Z_t=F(t,W_t,Y_t)$ con $F(t,w,y)=e^{-Bw+Ct}y$ . Entonces, la fórmula de Ito para productos o, en general, funciones multivariantes da \begin{align} dZ_t&=F_t\,dt+F_wdW_t+F_ydY_t+\tfrac12F_{ww}dt+F_{wy}d\langle W,Y\rangle_t \end{align} Esto permite encontrar un valor no sorprendente para $C$ que da una fórmula para $Y_t$ que no es recursiva, sino que contiene una integral no reducible con un integrando en $W_t$ y $t$ .

Answer 2

Definir $dZ_t=BZ_tdW_t,\,Z_0=1$ . Entonces $d(Z_t^{-1})=-B(Z_t^{-1})dW_t+B^2(Z_t^{-1})dt$ que (uso $\ln$ e Ito) implica $Z_t^{-1}=e^{\frac{B^2t}{2}-BW_t}$ . Ahora considere $d(Y_tZ_t^{-1})$ . Obtenemos mediante la regla del producto y la heurística Ito $$\begin{aligned}d(Y_tZ_t^{-1})&=Z_t^{-1}dY_t+Y_td(Z_t^{-1})+d(Y_t)d(Z_t)=\\ &=AZ_t^{-1}dt+B(Y_tZ_{t}^{-1})dW_t-B(Y_tZ_t^{-1})dW_t+B^2(Y_tZ_t^{-1})dt-B^2(Y_tZ_t^{-1})dt=\\ &=AZ_t^{-1}dt\end{aligned}$$ y por lo tanto $$Y_tZ_t^{-1}=Y_0+A\int_{[0,t]}e^{\frac{B^2s}{2}-BW_s}ds\implies Y_t=Y_0e^{-\frac{B^2t}{2}+BW_t}+A\int_{[0,t]}e^{-\frac{B^2}{2}(t-s)+B(W_t-W_s)}ds$$