En general, por razones físicas no todos los operadores autoadjuntos son observables. Discutiré el problema a nivel de las álgebras de von Neumann que son (quizás sin saberlo) más familiares para los físicos. Hay otras dos posibilidades que conducen a respuestas un poco diferentes: $C^*$ -y las álgebras retículo de proposiciones elementales teoría.
Partamos de la observación de que los operadores autoadjuntos de un sistema cuántico $S$ no son suficientes para agotar el conjunto de operadores útiles en una descripción de $S$ mismo. Por ejemplo, si $A$ es un observable $U_a = e^{-iaA}$ , donde $a\in \mathbb R$ define un grupo de simetrías continuas asociado a ese observable y este operador (para un $a \in \mathbb R$ ) no es autoadjunto.
La clase de operadores útiles se construye así. En primer lugar, hay que tener en cuenta que los observables siempre pueden reducirse a una clase mayor de acotado operadores: si $A$ es ilimitado (es decir, el conjunto de valores alcanzados que definen su espectro $\sigma(A)$ es un sin límites subconjunto de $\mathbb R$ ) la clase $\{A_n\}_{n \in \mathbb N}$ de acotado operadores autoadjuntos $$A_n = \int_{(-n,n] \cap \sigma(A)} a dP^{(A)}(a)\tag{1}$$ donde $P^{(A)}$ es la medida espectral de $A$ , engloba toda la información de $A$ en sí mismo. En particular, si $\psi \in D(A)$ entonces $$A\psi = \lim_{n\to +\infty}A_n \psi\tag{2}$$ y $$\cup_{n \in \mathbb R} \sigma(A_n) = \sigma(A) \:\:\: \mbox{up to the possible element $ 0 \Nen \Nsigma(A) $}$$ (2) dice que la clase de operadores acotados $A_n$ construye $A$ en el topología de operador fuerte . De este modo, cada observable se de-construye en un conjunto de observables acotados. A continuación, se consideran los productos de todas las posibles combinaciones complejas de observables acotados, incluidas las combinaciones infinitas en la topología de operadores fuertes. El conjunto de operadores obtenido $R_S$ incluye todos los operadores concebibles útiles para un sistema cuántico extraído de los observables (incluyendo los propios observables acotados que coinciden con los elementos autoadjuntos de $R_S$ sus medidas espectrales y las simetrías continuas generadas a partir de ellas).
Esta clase de operadores $R_S$ es conocido como el álgebra de von Neumann (o $W^*$ álgebra) de un sistema cuántico dado $S$ .
La pregunta natural, que en los espacios complejos de Hilbert es equivalente a su pregunta inicial dice lo siguiente.
Para un sistema cuántico descrito en el espacio de Hilbert $H$ , lo hace $R_S = B(H)$ ?
donde $B(H)$ es el mayor álgebra de von Neumann en $H$ que consiste en todo operadores limitados $A : H \to H$ .
(De hecho, si todos los operadores autoadjuntos son observables, entonces $R_S$ incluye todos los operadores autoadjuntos acotados y sus combinaciones complejas y, por lo tanto, incluye todo el $B(H)$ porque todo operador acotado es una combinación lineal compleja de un par de operadores autoadjuntos acotados. Si, viceversa , $R_S = B(H)$ entonces todo operador autoadjunto es un observable ya que, por definición, todos los operadores autoadjuntos en $R_S$ son los observables de $S$ .)
En realidad, la física decide.
Existen dos posibilidades independientes cuando $R_S \subsetneq B(H)$ .
$\:\:\:\:$ (A) Presencia de Reglas de superselección abelianas .
Esto significa que hay proyectores ortogonales $P_k$ en $R_S$ tal que
(i) $P_k$ conmuta con cada elemento de $R_S$ ,
(ii) $P_k \perp P_h$ si $k \neq h$ ,
(iii) $\oplus_k P_k =I$ .
Los espacios de proyección $H_k = P_k(H)$ se llaman sectores de superselección y $H$ es la suma ortogonal de ellos $H= \oplus_k H_k$ debido a (ii) y (iii).
En este caso, evidentemente $R_S \subsetneq B(H)$ porque, salvo casos triviales, $B(H)$ incluye algunos operadores que no conmutan con algunos $P_k$ .
En el aspecto físico esto significa que, por ejemplo, no hay manera de distinguir un estado vectorial $$\psi = \sum_k c_k\psi_k\tag{1}$$ donde $\psi_k \in H_k$ son vectores unitarios, y la mezcla $$\rho_\psi = \sum_k |c_k|^2|\psi_k\rangle \langle \psi_k|$$ Utilizando el hecho de que $A^\dagger=A \in R_S$ se desplaza con cada $P_k$ se puede demostrar fácilmente, por ejemplo, que $$tr(\rho_\psi A) = \langle \psi|A\psi \rangle$$ pero el resultado se extiende a las probabilidades de los resultados, etc. Otra forma de ilustrar físicamente este fenómeno es decir que
no hay superposición coherente de estados puros de diferentes sectores de superselección $H_k$ es posible
Como ejemplo típico, consideremos el observable carga eléctrica $Q$ para un sistema cuántico cargado eléctricamente (también un campo cuántico). $Q$ tiene un espectro discreto, en general no limitado, y el regla de superselección de la carga eléctrica afirma que todos los observables conmutan con él. Inmediatamente implica que los eigenspaces $H_q$ de $Q$ son sectores de superselección y que se produce una regla de superselección abeliana. Todo ello equivale a afirmar que no se permite la superposición coherente de estados con diferente carga.
En cuanto a la pregunta inicial, considere por ejemplo dos diferentes valores de la carga $q$ y $q'$ y los vectores propios asociados $|q\rangle$ y $|q'\rangle$ . El autoadjunto operador $$A = |q\rangle\langle q'| + |q'\rangle\langle q|$$ hace no definir un observable porque hace no viajar con el proyector $P_q$ en $H_q$ .
Reglas similares de superselección bien conocidas en la física cuántica son las regla de superselección de la masa (regla de superselección de Bargmann) para sistemas cuánticos no relativistas y la regla de superselección del momento angular (valores enteros frente a valores semi-integros).
$\:\:\:\:$ (B) La teoría admite una grupo gauge (no abeliano) .
Esto significa que hay una clase de observables $R'_S$ , generalmente llamado el conmutador de $R_S$ cuyos elementos conmutan con cada elemento de $R_S$ pero algunos elementos del conmutador son no incluido en $R_S$ como ocurre en cambio con (A). Este es el caso, en particular, si el conmutador $R_S'$ incluye un par de operadores no conmutativos como mínimo. Atengámonos a este caso (que es el único posible en realidad debido al "teorema del doble conmutador"). Es fácil demostrar que los elementos unitarios de $R_S'$ dan lugar a un grupo unitario no beliano. En otras palabras, todos los observables de $R_S$ debe conmutar con operadores unitarios que formen un grupo no abeliano, el grupo de galgas de la teoría.
Un ejemplo consiste en la descripción de los quarks: todos sus observables deben conmutar con una representación unitaria de $SU(3)$ (color).
Como ejemplo de operadores autoadjuntos que no son observables en este caso, basta con considerar el generadores autoadjuntos de la correspondiente $SU(3)$ representación: no pueden conmutar con la representación (a menos que sean triviales) por lo que no pueden interpretarse como observables de quarks porque todos los observables conmutan con la representación.
(Traté estos temas en mi libro de Springer de 2013 sobre "Teoría espectral y QM" y en la siguiente edición de 2018, muy ampliada, que incluye una discusión aún más amplia).
ADDENDUM . Debe quedar claro que en ambos casos en los que no todos los operadores autoadjuntos son observables la correspondencia uno a uno
estados puros $\leftrightarrow$ vectores unitarios hasta las fases
falla dramáticamente.
Se proporcionó un ejemplo en el caso de las reglas de superselección abelianas. Obsérvese que, refiriéndose a ese ejemplo $\psi$ , $\rho_\psi$ pero también (comparando con (1)) $$\psi' = \sum_k e^{i\theta_k}c_k \psi_k$$ son físicamente indistinguibles. En el caso de la presencia de un grupo gauge $\psi$ y $U\psi$ , donde $U$ es un operador unitario del grupo gauge, determinan el mismo estado.
Otra consecuencia físicamente importante de la presencia de un grupo gauge es que no conjunto máximo de observables conmutables puede existir. La prueba es un poco técnica y la omito. En la práctica, no podemos preparar el sistema cuántico en un estado preferido mediante una secuencia selectiva de mediciones de observables compatibles (con espectro puntual puro).
