Dejemos que $X$ sea un espacio pseudocompacto (es decir $X$ es el espacio de Tychonoff y toda función continua $f :X\to \Bbb R$ está acotado) y dejemos que $Y$ sea un espacio compacto de Tychonoff o secuencialmente compacto.
En cada caso, cómo demostrar que $X\times Y$ es pseudocompacto?
En primer lugar, necesitamos los siguientes criterios:
Un espacio Tychonoff $X$ es pseudocompacto si y sólo si todo recubrimiento abierto localmente finito de $X$ tiene una subcubierta finita.
Prueba . Supongamos que X no es pseudocompacto, por lo que existe un continuo no limitado $f:X\to\mathbb R$ . Entonces $\{f^{-1}((n-1,n+1)):n\in\mathbb Z\}$ es una cubierta abierta localmente finita de X sin subcubierta finita. A la inversa, supongamos que $\mathfrak U$ es una cubierta abierta localmente finita de X sin subcubierta finita. Sea $\{U_n:n\in\mathbb N\}\subseteq\mathfrak U$ sea una secuencia de miembros distintos no vacíos de $\mathfrak U$ . Seleccione $x_n\in U_n$ y definir la continuidad de $f_n:X\to [0,n]$ tal que $f_n(x_n)=n$ y $f_n(X\setminus U_n) = 0$ . Entonces, como $\mathfrak U$ es localmente finito, $f=\max\{f_n:n\in\mathbb N\}$ es una función continua de valor real sobre $X$ Así que $X$ no es pseudocompacto.
En segundo lugar, demostramos que para los pseudocompactos $X$ y compacto $Y$ el espacio del producto $X\times Y$ es pseudocompacto.
Prueba . Sea $\mathfrak U$ sea un recubrimiento abierto localmente finito de $X\times Y$ . Supongamos que $\varphi:X\times Y\to X$ y $\psi:X\times Y\to Y$ son proyecciones canónicas.
Para cualquier $x\in X$ dejar $\mathfrak B_x = \{U\in\mathfrak U:x\in\varphi(U)\}$ . Entonces $\{\psi(B):B\in\mathfrak B_x\}$ es la cubierta abierta de la compacta $Y$ por lo que tiene una subcubierta finita $\{\psi(B):B\in\mathfrak B_x'\}$ . Por lo tanto, $V_x = \bigcap\{\varphi(B):B\in\mathfrak B_x'\}$ es una vecindad abierta de $x$ y $\mathfrak V = \{V_x: x\in X\}$ es la tapa abierta de $X$ .
Tenemos que demostrar que $\mathfrak V$ es localmente finito.
Para el arbitraje $(x,y)\in X\times Y$ elijamos una vecindad de $(x,y)$ $W_{x,y}$ que intersecta sólo un número finito de conjuntos en $\mathfrak U$ . Entonces, para todos los $x\in X$ suponga que $\mathfrak D_x = \{W_{x,y}:y\in Y\}$ . La colección $\{\psi(D):D\in\mathfrak D_x\}$ es la tapa abierta de $Y$ por lo que existe su subcubierta finita $\{\psi(D):D\in\mathfrak D_x'\}$ . $W_x = \bigcap\{\varphi(D):D\in\mathfrak D_x'\}$ es la vecindad de $x$ . De su definición se desprende que sólo cruza un número finito de miembros de $\mathfrak V$ . Por lo tanto, $\mathfrak V$ es localmente finito y como $X$ es pseudocompacto tiene una subcubierta finita $\mathfrak V'$ .
Ahora podemos construir una subcubierta abierta finita $\mathfrak U'$ de $\mathfrak U$ : dejar $\mathfrak U' = \bigcup\{\mathfrak B_x':V_x\in\mathfrak V'\}$ .
Y en tercer lugar, el hecho de que el producto $X\times Y$ de pseudocompacto $X$ y compacta secuencialmente $Y$ es pseudocompacto se deduce del caso anterior. He tomado la prueba del libro de Engelking (subcapítulo 3.10).
Prueba . Supongamos que existe un continuo no limitado $f:X\times Y\to\mathbb R$ . Seleccione $(x_n,y_n)\in X\times Y$ tal que $|f(x_n,y_n)|\geq n \;\;\forall n\in\mathbb N$ . $Y$ es secuencialmente compacta por lo que la secuencia $\{y_n:n\in\mathbb N\}$ tiene una subsecuencia $\{y_{n_k}:k\in\mathbb N\}$ que converge a algún $z\in Y$ .
Dejemos que $Z:=\{y_{n_k}:k\in\mathbb N\}\cup\{z\}$ . $Z$ es compacto por lo que $X\times Z$ es pseudocompacto, pero esto lleva a una contradicción, ya que $f\restriction_{X\times Z}$ es continua e ilimitada.
Por tanto, cualquier función continua de valor real sobre $X\times Y$ está acotado.
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