¿Cómo se puede garantizar que $λ₁λ₄λ₅+λ₂λ₃λ₆$ no es un cero

Question

Dejemos que $A,B,C$ sean tres enteros positivos coprimos, es decir, existen seis enteros $λ_{1},λ_{2},λ_{3},λ_{4},λ_{5},λ_{6}$ tal que

$$λ_{1}A+λ_{2}B=1$$

$$λ_{3}A+λ_{4}C=1$$

$$λ_{5}B+λ_{6}C=1$$

Resolviendo con respecto a $A,B,C$ obtenemos

$$A=-(λ₂λ₄-λ₂λ₆-λ₄λ₅)/(λ₁λ₄λ₅+λ₂λ₃λ₆)$$

$$B= (λ₁λ₄-λ₁λ₆+λ₃λ₆)/(λ₁λ₄λ₅+λ₂λ₃λ₆)$$

$$C= (λ₂λ₃+λ₁λ₅-λ₃λ₅)/(λ₁λ₄λ₅+λ₂λ₃λ₆)$$

Entonces estoy preguntando si hay algún problema con la representación de $A,B,C$ en términos de $λ_{1},λ_{2},λ_{3},λ_{4},λ_{5},λ_{6}$ . En particular, cómo se puede garantizar que $λ₁λ₄λ₅+λ₂λ₃λ₆$ no es un cero.

Answer 1

No hay garantía de que no sea cero.

Ejemplo: Sea $A=2\times11$ , $B=3\times13$ , $C=5\times7$ . Entonces $$\begin{matrix}16A-9B=1\\8A-5C=1\\9B-10C=1\end{matrix}$$ Sin embargo, $16.5.9=9.8.10$ .