Supongamos que tenemos una colección $S_1 = \{a_1 + kr_1\}_{k=0}^{\infty}$ , $\cdots$ , $S_n = \{a_n + kr_n\}_{k=0}^{\infty}$ de secuencias aritméticas disjuntas donde $a_i$ , $r_i$ son enteros no negativos para todo $1\le i \le n$ . Además, supongamos que estas secuencias cubren $\mathbb{Z}_{\ge 0}$ : $$\mathbb{N} \cup \{0\} = S_1 \cup S_2 \cup \cdots \cup S_n$$
Entonces, se tiene la igualdad formal de las series de potencias $$\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=0}^{\infty} x^{a_i + k r_i} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x^{a_i}}{1-x^{r_i}} $$ Multiplicando ambos lados por $1-x$ y tomando $x\to 1^{-}$ demuestra que $$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \cdots + \frac{1}{r_n} = 1 \tag{1}$$ Diferenciando ambos lados y tomando $x\to 1^{-}$ muestra de nuevo $$\frac{a_1}{r_1} + \frac{a_2}{r_2} + \cdots + \frac{a_n}{r_n} = \frac{n-1}{2} \tag{2}$$
La primera de estas identidades tiene una prueba combinatoria/teórica de los números directa. Sea $N = r_1 r_2 \cdots r_n$ . Entonces $S_i$ cuenta precisamente con $N/r_i$ de las clases de residuos modulo $N$ . Dado que hay $N$ clases de residuos, la ecuación $$\frac{N}{r_1} + \cdots + \frac{N}{r_n} = N$$ produce la identidad $(1)$ . ¿Existe un argumento similar de recuento directo para la identidad $(2)$ ?
