¿El concepto de permutación tiene sentido para un conjunto indexado por los números reales?

Question

Sé que el concepto de permutación tiene sentido para las secuencias, que son conjuntos indexados por los números naturales (si la secuencia es infinito) o indexadas por el primer $n$ números naturales (si la secuencia es de longitud $n$). Una permutación, entonces, es simplemente un reordenamiento de los elementos de una secuencia.

Mi pregunta ahora es si permutaciones tener sentido para los conjuntos indexados por los números reales, en lugar de los números naturales.

Mi pensamiento es que tiene, porque los números reales son un conjunto totalmente ordenado, al igual que los números naturales. Pero no estoy seguro.

Es la existencia de un orden total en el conjunto de indexación suficiente para una permutación de un conjunto indizado a tener sentido?

Answer 1

La principal diferencia es si el índice de conjunto es finito o infinito, que no se si es totalmente (o bien) ordenó.

Se puede hablar de permutaciones de un conjunto infinito bien-que sigue siendo el mismo como el bijections de que el juego en sí.

Sin embargo, ten en cuenta que varios "estándar" es el resultado de la permutación de la teoría en realidad sólo se aplican para las permutaciones de un conjunto finito. En particular, para un conjunto infinito de la permutación grupo no es generado por las transposiciones, y no está bien definido signo de una permutación.

Answer 2

No hay problema en considerar permutaciones sobre cualquier conjunto de $X$: una permutación es a bijection en $X\to X$. El concepto de orden no es relevante para definir permutaciones.

Usted puede dejarse engañar por el hecho de que una orden sobre el conjunto (finito) de base puede utilizarse para calcular la firma de una permutación, pero la firma es independiente de la orden elegida (puede ser definido independientemente de cualquier orden en el conjunto de base, si es finito, por supuesto).

Answer 3

Si se define una permutación como un bijection del sistema en sí mismo, el concepto tiene sentido con cualquier sistema de indexación (no sólo totalmente ordenado unos).