Hace $\sum_{n=0}^\infty\frac{a^n}{\frac{n}{2}!}x^n$ ¿converger?

Question

Y si es así, ¿cuál es el radio de convergencia de $x$ ?

Me inclino a pensar que converge absolutamente para todos $x$ pero no puedo probarlo.

He intentado utilizar una adaptación de la prueba de la proporción:

$\rho=\lim\frac{\frac{a^{n+2}}{\frac{n+2}{2}!}x^{n+2}}{\frac{a^n}{\frac{n}{2}!}x^n}=\lim\frac{a^{n+2}x^{n+2}}{\frac{n+2}{2}!}.\frac{\frac{n}{2}!}{a^nx^n}=\lim\frac{a^2x^2}{\frac{n+2}{2}}=\lim\frac{2a^2x^2}{n+2}$

y entonces esto tiende a $0$ y así, converge. Pero estoy seguro de que eso no funciona. ¿Alguna idea?

Answer 1

La serie converge absolutamente para cualquier real (o complejo) $x$ . Una forma de ver esto es separar la serie en términos pares e Impares. Los términos pares dan $\sum_{k=0}^\infty (ax)^{2k}/k!$ que converge absolutamente para cualquier $x$ por la prueba de la proporción. La prueba de la proporción también funcionará para los términos de impar, independientemente de la definición razonable de $\frac{2k+1}2!$ que usas. Y la suma de dos series absolutamente convergentes es de nuevo absolutamente convergente, sin importar el orden en que se combinen los términos.