Varianza y covarianza de las transformaciones lineales

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son variables aleatorias con $E(X)=2, E(Y)=3 Var(X)= 4, Var(Y)=10$ y $Cov(X,Y)=-5$

1. Encuentre $Var (5X+2Y)$

De mi libro sé que $$Var(5X+2Y)= Var(5X)+Var(2Y)+2Cov(5X,2Y)$$ pero después de eso, ¿simplemente sustituyo los valores así $Var(5X)= 5\cdot 4=20$ ? Si es así, ¿cómo puedo averiguar $Cov(5x,2y)$ ?

2. Encuentre $Cov(3X+Y,Y)$

Answer 1

Consejos Tenga en cuenta que $$Var (kZ) = \mathbb{E}[Z^2] - \mathbb{E}[Z]^2 = \mathbb{E}[(kZ)^2] - \mathbb{E}[kZ]^2 = \mathbb{E}[k^2 Z^2] - (k\mathbb{E}[Z])^2$$ ¿Puedes terminar esto y expresar $Var(kZ)$ en términos de $k$ y $Var Z$ ?

A continuación, haga lo mismo con el $Covar(X,Y)$ , utilizando directamente la definición.

Answer 2

Calculemos:

$$Var(5X+2Y)= Var(5X)+Var(2Y)+2Cov(5X,2Y) = 25 Var (X) + 4 Var (Y) + 20 Cov(X,Y) = 25 (4) + 4(10) + 20 (-5) = 40$$

Para entender las manipulaciones, hay que ver las propiedades de la expectativa y la definición de covarianza.

$$\begin{align*}\Bbb{E}[a X + bY] &= a \Bbb{E}[X] + b \Bbb{E}[Y]\\ Cov(X,Y) &= \Bbb{E}[(X - \Bbb{E}[X])(Y - \Bbb{E}[Y])]\\ Var(X) &= Cov (X,X) \end{align*}$$

echa un vistazo a https://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value ,

y https://en.wikipedia.org/wiki/Covariance