Para evaluar $\lim_{x \to 0^-}({\frac{\tan x}{x}})^\frac{1}{x^3}$

Question

Evaluar $$\lim_{x \to 0^-}({\frac{\tan x}{x}})^\frac{1}{x^3}$$ He intentado tomar el registro en ambos lados y luego usar la regla de L'Hospital, pero da resultados complejos.

Answer 1

Desde esta respuesta podemos ver que los coeficientes de Taylor de $\tan(x)$ expandido alrededor de $0$ será positiva, lo que implica que cada truncamiento de la serie de Taylor actúa como un límite inferior para $\tan(x)$ en $[0, \pi/2)$ . Por lo tanto, $$\tan(x)\geq x+\frac{x^3}{3}$$ para $x\in [0, \pi/2)$ . Como $\tan(x)/x$ es una función par, esto implica que $$\frac{\tan(x)}{x}\geq 1+\frac{x^2}{3}$$ para $x\in (-\pi/2, 0)\cup (0, \pi/2)$ . Por lo tanto, como $1/x^3$ es negativo para $x < 0$ , $$\left(\frac{\tan(x)}{x}\right)^{1/x^3}\leq \left(1+\frac{x^2}{3}\right)^{1/x^3}$$ Por la desigualdad de Bernoulli, $$\left(1+\frac{x^2}{3}\right)^{-1/x^3}\geq 1-\frac{1}{x^3}\cdot \frac{x^2}{3} = 1-\frac{1}{3x}$$ para $-1\leq x < 0$ Así que $$\left(1+\frac{x^2}{3}\right)^{1/x^3}\leq \left(1-\frac{1}{3x}\right)^{-1} = \frac{3x}{3x-1}$$ Por lo tanto, $$0\leq \lim_{x\to 0^-} \left(\frac{\tan(x)}{x}\right)^{1/x^3}\leq \lim_{x\to 0^-} \left(1+\frac{x^2}{3}\right)^{1/x^3}\leq \lim_{x\to 0^-} \frac{3x}{3x-1} = 0$$

Answer 2

Al cambiar $x$ en $-x$ esto es lo mismo que $$ \lim_{x\to0^+}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{-1/x^3} = \lim_{x\to0^+}\left(\frac{x}{\tan x}\right)^{1/x^3} $$ Por lo tanto, usted quiere encontrar \begin{align} \lim_{x\to0^+}-\frac{\log\dfrac{\tan x}{x}}{x^3} &=-\lim_{x\to0^+}\frac{\log\left(1+\dfrac{x^2}{3}+o(x^2)\right)}{x^3}\\[6px] &=-\lim_{x\to0^+}\frac{\dfrac{x^2}{3}+o(x^2)}{x^3}\\[6px] &=-\infty \end{align} Entonces su límite es $\lim_{t\to-\infty}e^t=0$

Answer 3

Desde ¿Se pueden resolver todos los límites sin la regla de L'Hôpital o la expansión en serie? ,

$\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\tan x-x}{x^3}\right)=\dfrac13$

$\implies\dfrac{\tan x-x}{x^m}\to0$ para $m<3$ como $x\to0$

$$\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\tan x}x\right)^{1/x^3}$$

$$=\left(\left(\lim_{x\to0}\left(1+\dfrac{\tan x-x}x\right)^{x/(\tan x-x)}\right)^{\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x^3}}\right)^{\lim_{x\to0}\frac1x}$$

El límite interior converge a $e^{1/3}$

¿Y el exponente más externo?

Answer 4

Ecuación $(4)$ en esta respuesta dice que $$ \lim_{x\to0}\frac{\tan(x)-x}{x^3}=\frac13 $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \left(\frac{\tan(x)}x\right)^{1/x^3} &=\left(1+\frac{x^2}3+o\!\left(x^2\right)\right)^{1/x^3}\\ &=\left(\left(1+\frac{x^2}3+o\!\left(x^2\right)\right)^{1/x^2}\right)^{1/x} \end{align} $$ como $x\to0$ podemos hacer $\left(1+\frac{x^2}3+o\!\left(x^2\right)\right)^{1/x^2}$ tan cerca de $e^{1/3}\gt1$ como deseamos. Así, $$ \begin{align} \lim_{x\to0^-}\left(\left(1+\frac{x^2}3+o\!\left(x^2\right)\right)^{1/x^2}\right)^{1/x} &=\lim_{x\to0^-}\left(e^{1/3}\right)^{1/x}\\ &=0 \end{align} $$

Answer 5

Un truco fácil

$$\lim_{x\to 0^-} \left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac1{x^3}} =\lim_{x\to 0^-}\exp\left(\frac{1}{x^3}\ln\left(\frac{\tan x -x}{x}+1\right)\right) \sim \lim_{x\to 0^-}\exp\left(\frac{1}{3x}\frac{\ln\left(1+\frac{x^2}{3}\right)}{\frac{x^2}{3}}\right)\\= \color{blue}{\exp(-\infty\times \frac13)= 0} $$

Dado que $$\tan x -x \sim \frac{x^3}{3}~~and ~~ \lim_{h\to 0} \frac{\ln\left(1+h\right)}{h} = 1$$