X es un sumando directo de $X\otimes DX\otimes X$ en una categoría rígida tensor-triangulada.

Question

Estoy leyendo "Supports and filtrations in algebraic geometry and modular representation theory" de Balmer. En la proposición 2.4 afirma que $X$ (un objeto de una categoría triangulada tensorial rígida) es un sumando directo de $X\otimes DX\otimes X$ (ver este tema Todos los ideales son radicales en las categorías rígidas ). Sin embargo, mi impresión es que la prueba sólo muestra que $X$ es un recto de $X\otimes DX\otimes X$ . Parece que la distinción entre estas dos nociones es bastante crucial para las aplicaciones posteriores (espesor de algunos ideales). Más adelante en este trabajo asume además que la categoría es también completa idempotente, en cuyo caso retraer resulta ser lo mismo que un sumando directo.

Los coproductos son distributivos bajo el producto tensorial (ya que son contiguos), por lo que se podría intentar demostrar que $1$ es un sumando directo de $X\otimes DX$ pero no he podido demostrarlo.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

En una categoría triangulada un retracto es un sumando directo.

Supongamos que $X$ es un repliegue de $Y$ . Así que hay mapas $\alpha: X\to Y$ y $\beta: Y\to X$ con $\beta\alpha=\text{id}_X$ . Completa $\alpha$ a un distinguido triángulo $$Z[-1]\xrightarrow{\gamma}X\xrightarrow{\alpha}Y\rightarrow Z.$$ Entonces $\gamma=\beta\alpha\gamma=0$ por lo que el triángulo es isomorfo a $$Z[-1]\xrightarrow{0}X\rightarrow X\oplus Z\rightarrow Z.$$