Isomorfismo explícito de Kummer

Question

Dejemos que $K$ sea una característica $0$ campo que contiene $\mu_n$ (el $n$ -raíces de la unidad). Entonces se sabe que el mapa $K^{\times} / (K^{\times})^n \to \mathrm{Hom}(G, \mu_n)$ que envía $x$ a $\sigma \mapsto \frac{\sigma(x^{1/n})}{x^{1/n}}$ está bien definido y es un isomorfismo (aquí $G$ denota el grupo de Galois absoluto de $K$ ).

¿Es posible dar una descripción explícita de la inversa de este mapa?

Answer 1

Elija $\chi\in\mathrm{Hom}(G,\mu_n)$ . Sea $H$ sea el núcleo de $G$ y que $L$ sea el campo fijo de $H$ . Para $\alpha\in L$ , dejemos que $$ x(\alpha)=\sum_{\tau\in G/H} \chi^{-1}(\tau)\tau(\alpha). $$ Observe que $$ \sigma(x(\alpha))=\sum_{\tau\in G}\chi^{-1}(\tau)\sigma\tau(\alpha)=\sum_{\tau\in G}\chi(\sigma)\chi^{-1}(\tau)\tau(\alpha)=\chi(\sigma)x(\alpha). $$ Así que si $x(\alpha)$ es distinto de cero, ha construido un elemento que se transforma por $\chi$ . La independencia lineal de los caracteres indica que hay muchos $\alpha$ que hacen esto.