Utilizando el Complemento de Schur sabemos que el determinante de esta matriz se puede expresar como $$ \det \pmatrix{I & B\\ B^T & 0} = \det\pmatrix{I & 0\\0 & -B^TB} = \det(-B^TB). $$ Por lo tanto, vemos que efectivamente esta matriz tiene un determinante distinto de cero si (y sólo si) $B$ tiene rango de columna completo.
En cuanto a los valores propios de esta matriz, la descomposición del valor singular (SVD) de $B$ puede utilizarse como un paso intermedio útil. En particular, si $B = U \Sigma V^T$ es una descomposición de valor singular, entonces la matriz de interés es similar a $$ \pmatrix{U & 0\\0 & V}^T \pmatrix{I & B\\B^T & 0}\pmatrix{U & 0\\0 & V} = \pmatrix{I & \Sigma\\ \Sigma^T & 0}. $$ Si $m \leq n$ entonces existe una matriz de permutación $P$ tal que $$ P\pmatrix{I & \Sigma\\ \Sigma^T & 0}P^T = \pmatrix{A_1 \\ & \ddots \\ && A_m\\ &&& 0}, $$ donde cada bloque $A_k$ tiene la forma $$ A_k = \pmatrix{1 & \sigma_k\\ \sigma_k & 0 }, $$ donde $\sigma_k$ denota el $k$ valor singular de $B$ . Se deduce que los valores propios de la matriz serán iguales a $0$ y las soluciones a $$ \lambda^2 - \lambda - \sigma_k^2 = 0, \quad k = 1,\dots,n \implies\\ \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4\sigma_k^2}}{2}, \quad k = 1,\dots,n. $$ En el caso de que $m>n$ tenemos esencialmente lo mismo, excepto que ahora hay una matriz de identidad de tamaño $m-n$ añadidos a la diagonal. En consecuencia, la matriz tendrá (además de los valores propios señalados en el caso anterior) $1$ como un valor propio de multiplicidad al menos $m-n$ .
